п.3.6 Движение в пространстве Минковского.

Введем в пространстве М аффинную систему координат {xi}, i=1,..,4, фиксируя некоторую точку в качестве начала.

Тогда метрика представляется в виде:

ds2=(dx1)2-(dx2)2-(dx3)2-(dx4)2. (3.5)

Из определения движения (3.2) следует, что при движениях коэффициенты этой дифференциальной формы должны оставаться неизменными. Известно, что группа движения пространства Минковского десятипараметрична, она включает 3 вращения, 3 псевдовращения и 4 сдвига по осям, и её называют группой Пуанкаре или неоднородной группой Лоренца.

Её генераторы имеют вид:

бусты (сдвиги):

Система (3.6)

Система (3.7)

Система (3.8)

Система (3.9)

вращения:

Система (3.10)

Система (3.11)

Система (3.12)

псевдовращения:

Система (3.13)

Система (3.14)

Система (3.15)

 

Докажем, что данные преобразования являются движениями в пространстве Минковского.

Рассмотрим:

Система (3.6)

Подставим (3.6) в нашу дифференциальную форму (3.5), получим:

ds2=(d(x¢ 1 + a ))2 - (dx¢ 2)2 - (dx¢ 3)2 - (dx¢ 4)2 = (dx¢ 1 + 0)2 - (dx¢ 2)2 - (dx¢ 3)2 - (dx¢ 4)2 = (dx¢ 1)2 - (dx¢ 2)2 - (dx¢ 3)2 - (dx¢ 4)2.

Для (3.10) имеем:

ds2 = (dx¢ 1)2 - (d(x¢ 2cosj + x¢ 3sinj ))2 - (d( - x¢ 2sinj + x¢ 3cosj )2 - (dx¢ 4)2 = (dx¢ 1)2 - cos2j (dx¢ 2)2 - 2cosj sinj (dx¢ 2dx¢ 3)2 - sin2j (dx¢ 3)2 - cos2j (dx¢ 3)2 + 2cosj sinj (dx¢ 2dx¢ 3)2 - sin2j (dx¢ 2)2 - (dx¢ 4)2 = (dx¢ 1)2 - (cos2j + sin2j )(dx¢ 2)2 - (sin2j +cos2j )(dx¢ 3)2 - (dx¢ 4)2 = (dx¢ 1)2 - (dx¢ 2)2 - (dx¢ 3)2 - (dx¢ 4)2.

Для (3.13) имеем:

ds2 = (d(x¢ 1chj + x¢ 2shj ))2 (dx¢ 1)2 - (d(x¢ 1shj + x¢ 2chj ))2 - (dx¢ 3)2 -(dx¢ 4)2 = ch2j (dx¢ 1)2 + 2chj shj (dx¢ 1dx¢ 2)2 + sh2j (dx¢ 2)2 - sh2j (dx¢ 1)2 - 2shj chj (dx¢ 1 dx¢ 2) - ch2j (dx¢ 2)2 - (dx¢ 3)2 - (dx¢ 4)2 = ch2j (dx¢ 1)2 + sh2j (dx¢ 2)2 - sh2j (dx¢ 1)2 -ch2j (dx¢ 2)2 - (dx¢ 3)2 - (dx¢ 4)2 = (ch2j - sh2j )(dx¢ 1)2 - (ch2j - sh2j )(dx¢ 2)2 -(dx¢ 3)2 - (dx¢ 4)2 = (dx¢ 1)2 - (dx¢ 2)2 - (dx¢ 3)2 - (dx¢ 4)2.

Следовательно из определения движения (3.6), (3.10), (3.13) являются движениями. Аналогично можно убедиться, что преобразования (3.7) - (3.9), (3.11), (3.12), (3.14), (3.15) также авляются движениями в пространстве Минковского.

При инфинитезимальном преобразовании считается, угол j мал, то есть j заменяется на d j . Далее делается разложение в ряд Тейлора, пренебрегая членами выше первой степени.

При инфинитезимальном преобразовании из (3.10):

Система ,так как cosd j » 1 и sind j » d j , то

Система (3.16)

Из (3.11):

Система (3.17)

Из (3.12):

Система (3.18)

Из (3.13), зная, что chd j » 1, shd j » d j получаем:

Система (3.19)

Из (3.14):

Система (3.20)

Из (3.15):

Система (3.21)

Преобразования (3.16) - (3.21), (3.6) - (3.9) можно переписать в виде:

xi = x¢ i + x i(x)d j , где x i соответственно равны:

Вектор

Вектор

Вектор

Вектор

Вектор

Вектор

Вектор

Вектор

Вектор

Векторы Векторы или операторы Операторы являются генераторами алгебры Ли группы Пуанкаре. Векторы x i - это вектора Киллинга, удовлетворяющие уравнениям Киллинга (3.4).

СОДЕРЖАНИЕ

ДАЛЬШЕ