п.3.3 Группа движений как группа Ли. Инфинитезимальные преобразования. Генераторы xⁱ.

Если М - пространство Минковского, отнесенное к координатам {xⁱ} (i=1 , ... 4), а G^r - мерное пространство параметров {a^k} (k=1, ... r), то уравнения

xⁱ ¢ = f ⁱ (x¹, ... x⁴ ; а¹ , ... а^r) º f ⁱ (x,а)

при фиксированных значениях а^k определяет преобразование точки М(х) пространства М в точку М¢ (х¢ ). Предполагается, что f ⁱ - некоторого класса C ^s, а а ^k - параметры. R^r становится группой, которую будем обозначать через G^r , если существует r достаточное число раз непрерывно дифференцируемых функций.

j ^a (a^s,b^t) (a , s, t = 1,:,r) таких, что f ⁱ(f(x,a)b)=f ⁱ(x,j (a,b)) º f ⁱ(x,c), где c - элемент группы, и существует в G^r точка e^s (s = 1,..,r), для которой

f ⁱ(x,e) = xⁱ.

При этом предполагается, что функции j определены в окрестности точки e^s и удовлетворяют следующим аксиомам группы:

1)j ^a (a,j (b,c)) = j ^a (j (a,b),c) - ассоциативность

2)j ^s(a,e) = a^s - обеспечивает существование единицы группы e^s

3)j ^s(a,a^-1) = j ^s(a,a^-1) = e^s - означает существование для каждого элемента a группы обратного элемента.

Одномерной подгруппой G¹ группы G^r назовем такую кривую a^s=a^s(t) пространства параметров, проходящую через единицу группы e^s , для любых точек которой

j ^s(a(t₁),a(t₂)) = a^s(t₃)

Всякой точке этой кривой, бесконечно близкой к e^s в пространстве М отвечает бесконечно малое преобразование

x¢ ⁱ = xⁱ + x ⁱ(x)d (t), (3.3)

которому можно сопоставить оператор X = x ⁱ(x)¶ _i(¶ _iº ).

Пребразование (3.3) называется инфинитезимальным преобразованием. Векторы x ⁱ называются генераторами.

Из (3.3) следует, что траектория одномерной подгруппы в пространстве М, проходящая через данную точку P(xⁱ) , определяется как интегральная кривая системы обыкновенных дифференциальных уравнений

(i = 1,..,4).

Генераторы можно складывать, умножать на вещественные числа. Другими словами из них можно построить линейное пространство g_r над полем вещественных чисел. Генераторы служат базисом в этом векторном пространстве. Будем его называть пространством генераторов.

СОДЕРЖАНИЕ

ДАЛЬШЕ