§1. Аффинное и псевдоевклидово пространства.
Основными понятиями, не подлежащими прямому логическому определению будут служить точка и вектор. В данной теории они будут определены посредством перечисления их свойств в аксиомах. При этом считается, что теория вещественных (как и комплексных) чисел уже построена. Тогда достаточно принять следующие аксиомы:
1°. Существует по меньшей мере одна точка.
2°. Каждой паре точек А, В, заданных в определенном порядке, поставлен в соответствие один и только один вектор.
3°. Для каждой точки А и каждого вектора x существует одна и только одна точка В такая, что
4°. (Аксиома параллелограмма).
Если 
, то 
.
5°. Каждому вектору x и каждому числу a поставлен в соответствие определенный вектор. Этот вектор будем обозначать ax и называть пропроизведением вектора x на число a.
6° 1x=x
7° (a+b )x=ax+bx
8°. a (x+y)=a x+ay
Аксиома 7°и 8° выражают два дистрибутивных закона: один -для умножения вектора на сумму чисел, другой -для умножения суммы векторов на число
.9°. a (bx)=(a b)x, то есть последовательное умножение вектора на числа b
и a сводится к его умножению на их произведение.10° . (Аксиома размерности). Существует n линейно независемых векторов, но любые n+1 векторов линейно зависемы между собой.
Будем называть n -мерным аффинным пространством множество точек и векторов, удовлетворяющих аксиомам 1 ° -10°.
Евклидовым пространством n измерений мы будем называть n -мерное аффинное пространство, в котором задана раз навсегда фиксированная билинейная скалярная функция xy двух векторных аргументов x, y, удовлетворяющая условиям симметрии и невырожденности, то есть
Евклидовы пространства распадаются на два больших класса: вещественные и комплексные. Евклидово пространство можно строить как на базе вещественного аффинного пространства, так и комплексного.
В теории вещественного аффинного пространства все рассматриваемые числа считаются вещественными. В частности, и скалярное произведение
xy двух векторов x, y принимает лишь вещественные численные значения. Полученное при этом евклидово пространство называется вещественным. Вещественные евклидовы пространства в свою очередь разделяются на два класса: собственно евклидовы, в которых для любого вектора x¹0:x2>0
и псевдоевклидовы, в которых
x2 может принимать как положительные, так и отрицательные значения.