п.4.3 Нахождение движений по векторам Киллинга.

Используя вектора Киллинга можно найти движения составляющие группу Пуанкаре. Для этого воспользуемся методом, описанным, Картаном [ 1, 188 - 191] .

Так как Условия, Условия и (4.22), то имеем:

Система

Данная система линейных дифференциальных уравнений эквивалентна:

Система
где
Матрица

Используем стандартный прием решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами [4, 283].

Имеем (A - l E)a = 0, где E - единичная матрица, а= Вектор - собственный вектор с собственным числом l .

Составим матрицу (A - l E)a:

(A - l E)a = Матрица

Для определения a1, a2 найдем собственное число l из Уравнение Тогда получаем:

Уравнение

Откуда:

^ Уравнение

Корни последнего уравнения есть l 1 = 1, l 2 = -1. При l 1 = 1 имеем:

Уравнение

Из последнего равенства получаем -a1 + a2 = 0 . Следовательно a1 = 1, a2 = 1, то есть Вектор При l 2 = -1 имеем:

Уравнение

Откуда:

a1 + a2 = 0.

Следовательно a1 = 1, a2 = -1 , то есть Вектор.

Как известно из теории систем линейных дифференциальных уравнений общее решение записывают в данном виде:

Решение.

Тогда:

Система

Так как ej = chj + shj

e-j = chj - shj , то предыдущая система уравнений примет вид:

Система

Проводя преобразования в этой системе, получаем окончательное решение системы дифференциальных уравнений:

Система
где
С1=c1 + c2, С2= c1 - c2.

Используя, что Равенство и делая подстановку Подстановка , Подстановка , найдем:

Система

Получили одно из движений группы Пуанкаре, с точностью до переобозначения, являющееся псевдовращением, рассмотренное нами ранее в п.3.6.

Имеем:

Система

Данная система эквивалентна:

Система
где
Матрица

Составим матрицу вида (A - l E)a:

(A - l E)a = Матрица

Найдем собственный вектор Вектор из Уравнение Определим для этого l:

имеем Уравнение Уравнение

Откуда:

^ Уравнение

Корнями последнего уравнения являются: l 1 = i, l 2 = -i. При l 1 = i имеем:

Уравнение

Из последнего равенства получаем -ia1 + a2 = 0 . Следовательно a1 = 1, a2 = i, то есть Вектор При l 2 = -i имеем:

Уравнение

Откуда:

ia1 + a2 = 0.

Следовательно a1 = 1, a2 = -i , то есть Вектор.

Вектор.

Тогда:

Система

Так как eij = cosj + i * sinj

e-ij = cosj - i * sin , то последняя система примет вид:

Система

Проводя преобразования в данной системе, получаем окончательное решение:

Система
где
С3 =c3 + c4, С4 =i(c3 - c4 ).

Далее, воспользовавшись Равенство и делая подстановку Подстановка, Подстановка , найдем:

Система

Получили вращение группы Пуанкаре.

Приведенная выше схема рассуждения повторяется для каждого из десяти видов движения.

СОДЕРЖАНИЕ

ДАЛЬШЕ