Большое влияние на творчество Клейна оказали немецкий математик Р. Клебш и норвежский математик С. Ли, с которыми он встретился в Париже в 1870г. С 1872г. Клейн работает в Эрлангене, с 1875г.-профессор высшей технической школы в Мюнхене, а с 1880г.-профессор университета в Лейпциге. В 1886г. переехал в Гёттинген.
Основные труды по неевклидовой геометрии, теории непрерывных групп, теории алгебр, уравнений, теории эллиптических функций, теории автоморфных функций. Свои идеи в области геометрии Клейн изложил в работе "Сравнительное рассмотрение новых геометрических исследований" (1872г.), известной под названием "Эрлангенская программа". По Клейну, каждая геометрия является теорией инвариантов специальной группы преобразований. Расширяя или сужая группу, можно перейти от одного типа геометрии к другому. Евклидова геометрия - наука об инвариантах метрической группы; проективная геометрия - наука об инвариантах проективной группы. Классификация групп преобразований дает классификацию геометрий; теория алгебр, и дифференциальных инвариантов каждой группы дает аналитическую структуру геометрии.
Опираясь на исследования Бельтрами, Клейн строго доказал непротиворечивость неевклидовой геометрии. Исследуя дискретные группы, Клейн рассмотрел группы многогранников и показал, что этими и близкими им группами можно, обобщая метод Галуа, воспользоваться для алгебр, решения уравнений некоторых типов. Рассматривал группы симметрий правильных многогранников трехмерного пространства (1884г.); стремился раскрыть внутренние связи между отдельными ветвями математики, с одной стороны, физикой и техникой-с другой. Много сделал для создания "Энциклопедии математических наук". В течение почти 40 лет (с 1876г.) был главным редактором журнала "Математические анналы"; много занимался вопросами математического образования. Перед первой мировой войной организовал Международную комиссию по реорганизации преподавания математики. На русский язык переведены книги Клейна "Высшая геометрия" (М.; П., 1939г.); "Элементарная математика с точки зрения высшей" (М.; Л., 1934-1935гг.); "Неевклидова геометрия" (М.; Л., 1936г.); "Лекции о развитии математики в XIX столетии" (М.; Л" 1937г.).
1. Историко-математические исследования. Выпуск 18. - М.: Наука, 1973.
2. Яглом И.М. Феликс Клейн и Софиус Ли. - М.: Знание, 1977.