Задачи

1.	Точка на гипотенузе, равноудаленная от обоих катетов, делит гипотенузу на отрезки длиной 30 и 40 см. Найдите катеты треугольника.
2.	В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5 см. Определить площадь треугольника.
3.	Основание равнобедренного треугольника равно 4 см, а медиана боковой стороны 5 см. Найти длины боковых сторон.
4.	Найти площадь равнобедренного треугольника, если основание его равно a, а длина высоты, проведенной к основанию, равна длине отрезка, соединяющего середины основания и боковой стороны.
5.	Длина основания треугольника равна 36 см. Прямая, параллельная основанию, делит площадь треугольника пополам, Найти длину отрезка этой прямой, заключенного между сторонами треугольника.
6.	Основание треугольника равно 30 см, а боковые стороны 26 и 28 см. Высота разделена в отношении 2 : 3 (считая от вершины), и через точку деления проведена прямая, параллельная основанию. Определить площадь полученной при этом трапеции.
7.	Хорда окружности равна 10 см. Через один конец хорды проведена касательная к окружности, а через другой — секущая, параллельная касательной. Определить радиус окружности, если внутренний отрезок секущей равен 12 см.
8.	Через концы дуги окружности, содержащей 120°, проведены касательные, и в фигуру, ограниченную этими касательными и данной дугой, вписана окружность. Доказать, что ее длина равна длине исходной дуги.
9.	Дана точка P, удаленная на 7 см от центра окружности радиуса 11 см. Через эту точку проведена хорда длиной 18 см. Каковы длины отрезков, на которые делится хорда точкой P?
10.	Три окружности разных радиусов попарно касаются друг друга. Прямые, соединяющие их центры, образуют прямоугольный треугольник. Найти радиус меньшей окружности, если радиусы большей и средней окружностей равны 6 и 4 см.
11.	Сторона равностороннего треугольника, вписанного в окружность, равна a. Вычислить площадь отсекаемого ею сегмента.
12.	Круг разделен на два сегмента хордой, равной стороне правильного вписанного треугольника. Определить отношение площадей этих сегментов.
13.	Каждая из трех равных окружностей радиуса r касается двух других. Найти площадь треугольника, образованного общими внешними касательными к этим окружностям.
14.	Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, относится к радиусу вписанной в него окружности как 5 : 2. Найти площадь треугольника, если один из его катетов равен a.
15.	Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 3 см, а один из катетов равен 10 см.
16.	Найти площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник, если высота, проведенная к гипотенузе, делит последнюю на отрезки длиной 25,6 и 14,4 см.
17.	В равнобедренном треугольнике основание равно 30 см, а боковая сторона равна 39 см. Определить радиус вписанного круга.
18.	К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 12 см и высотой 8 см, проведена касательная, параллельная основанию. Найти длину отрезка этой касательной, заключенного между сторонами треугольника.
19.	В окружность, диаметр которой равен , вписан правильный треугольник. На его высоте как на стороне построен другой правильный треугольник, в который‚ вписана новая окружность. Найти радиус этой окружности.
20.	В равносторонний треугольник вписана окружность. Этой окружности и сторон треугольника касаются три малые окружности. Найти сторону треугольника, если радиус малой окружности равен r.
21.	Стороны треугольника равны 13, 14 и 15 см. Найти отношение площадей описанного и вписанного в треугольник кругов.
22.	Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, равна a. Вычислить площадь квадрата, вписанного в ту же окружность.
23.	Площадь равнобедренного треугольника равна площади квадрата, построенного на основании данного треугольника. Длины боковых сторон треугольника короче длины его основания на 1 см. Найти длины сторон и высоты треугольника, проведенной к основанию.
24.	В квадрат вписан другой квадрат, вершины которого лежат на сторонах первого, а стороны составляют со сторонами первого углы в 60°. Какую часть площади данного квадрата составляет площадь вписанного?
25.	Сторона квадрата, вписанного в окружность, отсекает сегмент, площадь которого равна (2- 4) см². Найти площадь квадрата.
26.	В прямоугольный треугольник с углом 60° вписан ромб со стороной, равной 6см, так, что угол в 60° у них общий и все вершины ромба лежат на сторонах треугольника. Найти стороны треугольника.
27.	Периметр ромба равен 2 м, длины его диагоналей относятся как 3 : 4. Найти площадь ромба.
28.	Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла, делит его сторону на отрезки длиной m и n (m считать от вершины острого угла). Определить диагонали ромба.
29.	В ромб, который делится своей диагональю на два равносторонних треугольника, вписана окружность радиуса 2. Найти сторону ромба.
30.	Величина одного из углов параллелограмма равна 60°, а меньшая диагональ 2 см. Длина перпендикуляра, проведенного из точки пересечения диагоналей к большей стороне, равна см. Найти длины сторон и большей диагонали параллелограмма.
31.	В точках пересечения двух окружностей с радиусами 4 и 8 см касательные к ним взаимно перпендикулярны. Вычислить площадь фигуры O₁ABO₂, где AB — общая касательная к окружностям, а O₁ и O₂ — их центры.
32.	Длины оснований трапеции равны 25 и 4 см, а длины боковых сторон — 20 и 13 см. Найти высоту трапеции.
33.	В трапеции, площадь которой равна 594 м², высота 22 м, а разность длин оснований равна 6 м, найти длины оснований.
34.	Вычислить площадь прямоугольной трапеции, если ее острый угол равен 60°, меньшее основание равно a, а больная боковая сторона равна b.
35.	Диагональ равнобедренной трапеции делит ее тупой угол пополам. Меньшее основание трапеции равно 3 см, периметр равен 42 см. Найти площадь трапеции.
36.	Найти диагональ и боковую сторону равнобедренной трапеции с основаниями 20 и 12 см, если известно, что центр описанной окружности лежит на большем основании трапеции.
37.	Найти площадь равнобедренной трапеции, если высота равна h, а боковая сторона видна из центра описанной окружности под углом 60°.
38.	Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна S. Определить боковую сторону трапеции, если угол при основании трапеции равен .
39.	В равнобедренную трапецию вписан круг. Одна из боковых сторон делится точкой касания на отрезки длиной m и n. Определить площадь трапеции.
40.	Вычислить отношение площадей квадрата, правильного треугольника и правильного шестиугольника, вписанных в одну и ту же окружность.