ЛоготипТреугольники

Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки -- его сторонами.


Виды треугольниковРавнобедренный треугольник

Треугольник называется равнобедренным, если у него две сторны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.

Треугольник, у которого все сторны равны, называется равносторонним или правильным.

Прямоугольный треугольникТреугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами.

Треугольник называется остроугольным, если все три его угла — острые, то есть меньше 90°.

Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов — тупой, то есть больше 90°.


Основные линии треугольника

Медиана

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий верщину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.Медиана треугольника

Свойства медиан треугольника

  1. Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
  2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
  3. Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

Биссектриса

Биссектриса треугольникаБиссектриса угла — это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

Свойства биссектрис треугольника

  1. Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.
  2. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилегажащим сторонам: x/y=a/b.
  3. Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

Высота

Высота треугольникаВысотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника.

Свойства высот треугольника

  1. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
  2. В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.

Срединный перпендикуляр

Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, называют серединным перпендикуляром к отрезку.

Свойства серединных перпендикуляров треугольникаСвойства серединных перпендикуляров треугольника

  1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
  2. Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Средняя линия

Средняя линияСредней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойство средней линии треугольника


Формулы и соотношения

Признаки равенства треугольниковПризнаки равенства треугольников

Два треугольника равны, если у них соответственно равны:

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Два прямоугольных треугольника равны, если у них соответственно равны:Признаки равенства прямоугольных треугольников

Подобие треугольников

Два треугольника подобны, если выполняется одно из следующих условий, называемых признаками подобия:Подобие треугольников

В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, причем коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной около треугольника окружности:Теорема синусов

sin &alpha/a = sin &beta/b = sin &gamma/c

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

a2= b2+ c2- 2bc cos &alpha

Формулы площади треугольника

  1. Произвольный треугольник
  2. a, b, c — стороны; &alpha — угол между сторонами a и b;p=(a+b+c)/2— полупериметр; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; S — площадь; haвысота, проведенная к стороне a.

    Произвольный треугольникS = 1/2aha

    S = 1/2ab sin &alpha

    S=&sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))

    S = pr

    S=(abc)/4R

  3. Прямоугольный треугольник
  4. a, b — катеты; c — гипотенуза; hcвысота, проведенная к стороне c.Прямоугольный треугольник

    S = 1/2ab

    S = 1/2chc

  5. Равносторонний треугольник
  6.  Равносторонний треугольникS=(a*sqrt(3))/4