I. Общие сведения.

1. Конечномерные нормированные векторные пространства. Арифметические пространства, аксиомы нормированного пространства, свойства, примеры норм (кубическая, октаэдрическая, евклидова, гельдерова, энергетическая и др.).
   Аддитивнные и мультипликативные нормы матриц. Матричные нормы, согласованные и подчиненные векторным, операторная норма матриц. Примеры норм матриц. Матричные нормы, подчиненные кубической, октаэдрической, евклидовой (спектральная) и другим векторным нормам.
   
2. Сходимость последовательностей и рядов конечномерных векторов и матриц. Определения сходимости и их эквивалентность. Сходимость последовательности степеней матрицы и геометрической прогрессии матриц (необходимые и достаточные условия сходимости, достаточные условия сходимости). Связь между матричными нормами и спектральным радиусом матриц.
   
3. Оценка собственных значений матриц. Теоремы Гершгорина и их следствия. Теорема Кассини.(* - необязательный материал). Теорема Таусски (без доказательства).
   
4. Погрешности решения задач линейной алгебры. Погрешности и их классификации, устойчивость процессов решения задач на ЭВМ, методы построения оценок погрешностей. Оценка неустранимой погрешности решения СЛАУ с приближенно заданной правой частью, коэффициенты обусловленности СЛАУ и матрицы, примеры плохо обусловленных матриц, причины появления плохо обусловленных СЛАУ. Оценка неустранимой погрешности решения СЛАУ с приближенно заданными матрицей и правой частью. Понятие погрешности в проблеме собственных значений. Порядок неустранимой погрешности в общем случае. Оценка неустранимой погрешности для матриц простой структуры, коэффициенты перекоса.
   

II. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений и обращения матриц.

1. Метод Гаусса решения СЛАУ. Компактная схема (LU-разложение). Условия применимости метода. Необходимость перестановок, стратегии перестановок, эквивалентные погрешности разложения. Вычисление определителей и обращение матриц. Метод квадратного корня, эквивалентная погрешность разложения для случая положительно определенной матрицы. Метод прогонки, условия осуществимости, устойчивость прогонки.
   
2. Метод ортогонализации, эквивалентная погрешность разложения. Неустойчивость метода ортогонализации, переортогонализация Уилкинсона. Обзор других методов разложения на унитарную и треугольную матрицы. Сравнительная характеристика методов разложения.
   

III. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

1. Необходимость в итерационных схемах, сравнение с прямыми методами. Стационарный и нестационарный линейный одношаговый метод, связь между решением СЛАУ и неподвижной точкой процесса. Каноническая схема, примеры.
   
2. Метод простой итерации, необходимые и достаточные, достаточные условия сходимости, оценка погрешности, средняя и асимптотическая скорости сходимости, особенности поведения процесса простой итерации на ЭВМ. Стационарный метод Ричардсона, условия сходимости, оптимизация выбора параметра. Метод Якоби, условия сходимости.
   
3. Метод Зейделя, необходимые и достаточные, достаточные условия сходимости. Методы Гаусса-Зейделя и верхней релаксации, условия сходимости.
   
4. Необходимые и достаточные, достаточные условия сходимости нестационарного линейного одношагового процесса, средняя и асимптотическая скорости сходимости. Методы вариационного типа, их сходимость.
   
5. Многочлены Чебышева и их свойства, многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля. Нестационарный метод Ричардсона с Чебышевским набором параметров, оценка погрешности, асимптотическая скорость сходимости, неустойчивость процесса и ее устранение, схемы реализации метода Чебышева.
   
6. Метод сопряженных градиентов как пример нестационарного двухшагового процесса вариационного типа, оценка скорости сходимости. Конечность метода сопряженных градиентов. Схемы реализации.
   
7. Неявные (со спектрально эквивалентным оператором) методы Ричардсона, Чебышева, вариационного типа, сопряженных градиентов и их скорость сходимости.
   
8. Схемы расщепления, пример, условия сходимости, выбор оптимального параметра.
   

IV. Итерационные методы решения нелинейных уравнений.

1. Метод простой итерации в полных метрических пространствах. Теоремы о сжатых отображениях. Примеры.
   
2. Производная Фреше. Метод Ньютона в Банаховых пространствах. Достаточные условия квадратичной сходимости. Теорема Канторовича.* Примеры. Модификации метода.
   

V. Методы решения проблемы собственных значений.

1. Частичная и полная проблемы собственных значений.
   
2. Метод Ньютона уточнения собственного числа и соответствующего собственного вектора.
   
3. Степенной метод поиска максимального по модулю собственного числа и соответствующего собственного вектора. Условия и скорость сходимости. Применение степенного метода для поиска максимального и минимального собственного числа матрицы с вещественным спектром, метод обратных итераций для поиска собственного числа, ближайшего к заданному числу, ускорение метода обратных итераций, поиск 2-го и т.д. собственных чисел степенным методом, условия и скорость сходимости этих модификаций.
   
4. Метод Эйткена ускорения сходимости и его применение в итерационных методах решения СЛАУи проблеме собственных значений.
   
5. Методы, связанные с вычислением значений собственного многочлена.*
   
6. Итерационный метод вращений. Стратегии выбора матриц вращения. Предварительная подготовка матрицы для сокращения числа итераций.
7. QR-алгоритм решения полной проблемы собственных значений.*