ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

по математическому анализу 4 семестр 2000 г.
  1. Системы множеств. Свойства полукольца.
  2. Системы множеств. Свойства кольца. Кольцо, порожденное подкольцом.
  3. Мера. Продолжение меры с полукольца на порожденное им кольцо. Свойства аддитивной меры.
  4. sigma-аддитивная мера. Теорема о продолжении sigma-аддитивной меры. Свойства sigma-аддитивной меры.
  5. Внешняя мера, ее sigma-полуаддитивность. Измеримые множества. Измеримость элементарных множеств.
  6. Алгебра измеримых множеств.
  7. sigma-аддитивность меры Лебега.
  8. sigma-алгебра измеримых множеств.
  9. Непрерывность меры Лебега.
  10. Измеримые функции. Критерий измеримости вещественнозначной функции.
  11. Измеримые функции и арифметические операции.
  12. Предел измеримых функций.
  13. Теорема Егорова.
  14. Теорема Лебега о связи сходимости п.в. со сходимостью по мере.
  15. Теорема Рисса о связи сходимости по мере со сходимостью п.в.
  16. Лемма о продолжении функции, заданной на замкнутом множестве.
  17. Теорема Бореля.
  18. Теорема Фреше.
  19. Теорема Лузина.
  20. Простые функции. Критерий измеримости в терминах простых функций.
  21. Интеграл Лебега от простой функции, его свойства.
  22. Общее определение интеграла Лебега.
  23. Свойства интеграла Лебега.
  24. Прямая теорема о sigma-аддитивности интеграла Лебега.
  25. Обратная теорема о sigma-аддитивности интеграла Лебега.
  26. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега.
  27. Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла.
  28. Теорема Леви.
  29. Теорема Фату.
  30. Сравнение интеграла Римана с интегралом Лебега.
  31. Произведение полуколец.
  32. Определение меры на произведении полуколец.
  33. sigma-аддитивность меры, определенной на произведении полуколец.
  34. Геометрический смысл интеграла Лебега.
  35. Теорема Фубини.
  36. Разложение Хана.
  37. Теорема Радона-Никодима.
  38. Кососимметрические формы. Критерий кососимметричности.
  39. Внешнее произведение к/с форм, его свойства.
  40. Антикоммутативность внешнего произведения.
  41. Ассоциативность внешнего произведения. Следствие.
  42. Канонический вид к/с формы.
  43. Дифференциальные формы. Внешнее произведенее, канонический вид.
  44. Внешний дифференциал, его основное свойство.
  45. Замена переменных в дифференциальных формах. Свойства отображения varphi^*.
  46. Криволинейный интерал. Замена переменной в криволинейном интеграле.
  47. Интеграл от точной формы. Критерий существования первообразной.
  48. Замкнутые дифференциальные формы. Критерий замкнутости.
  49. Теорема о существовании первообраной вдоль пути.
  50. Теорема об интеграле от замкнутой формы.
  51. Теорема о существовании первообразной вдоль пленки.
  52. Гомотопия путей. Интегралы по гомотопным путям.
  53. Теорема об ориентации многообразия.
  54. Теорема об ориентации края.
  55. Формула Грина.
  56. Общая формула Стокса. Следствия (формула Стокса, формула Остроградского-Гаусса).