ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
по математическому анализу 4 семестр 2000 г.
Системы множеств. Свойства полукольца.
Системы множеств. Свойства кольца. Кольцо, порожденное подкольцом.
Мера. Продолжение меры с полукольца на порожденное им кольцо. Свойства аддитивной меры.
sigma-аддитивная мера. Теорема о продолжении sigma-аддитивной меры. Свойства sigma-аддитивной меры.
Внешняя мера, ее sigma-полуаддитивность. Измеримые множества. Измеримость элементарных множеств.
Алгебра измеримых множеств.
sigma-аддитивность меры Лебега.
sigma-алгебра измеримых множеств.
Непрерывность меры Лебега.
Измеримые функции. Критерий измеримости вещественнозначной функции.
Измеримые функции и арифметические операции.
Предел измеримых функций.
Теорема Егорова.
Теорема Лебега о связи сходимости п.в. со сходимостью по мере.
Теорема Рисса о связи сходимости по мере со сходимостью п.в.
Лемма о продолжении функции, заданной на замкнутом множестве.
Теорема Бореля.
Теорема Фреше.
Теорема Лузина.
Простые функции. Критерий измеримости в терминах простых функций.
Интеграл Лебега от простой функции, его свойства.
Общее определение интеграла Лебега.
Свойства интеграла Лебега.
Прямая теорема о sigma-аддитивности интеграла Лебега.
Обратная теорема о sigma-аддитивности интеграла Лебега.
Абсолютная непрерывность интеграла Лебега.
Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла.
Теорема Леви.
Теорема Фату.
Сравнение интеграла Римана с интегралом Лебега.
Произведение полуколец.
Определение меры на произведении полуколец.
sigma-аддитивность меры, определенной на произведении полуколец.
Геометрический смысл интеграла Лебега.
Теорема Фубини.
Разложение Хана.
Теорема Радона-Никодима.
Кососимметрические формы. Критерий кососимметричности.
Внешнее произведение к/с форм, его свойства.
Антикоммутативность внешнего произведения.
Ассоциативность внешнего произведения. Следствие.
Канонический вид к/с формы.
Дифференциальные формы. Внешнее произведенее, канонический вид.
Внешний дифференциал, его основное свойство.
Замена переменных в дифференциальных формах. Свойства отображения varphi^*.
Криволинейный интерал. Замена переменной в криволинейном интеграле.
Интеграл от точной формы. Критерий существования первообразной.
Замкнутые дифференциальные формы. Критерий замкнутости.
Теорема о существовании первообраной вдоль пути.
Теорема об интеграле от замкнутой формы.
Теорема о существовании первообразной вдоль пленки.
Гомотопия путей. Интегралы по гомотопным путям.
Теорема об ориентации многообразия.
Теорема об ориентации края.
Формула Грина.
Общая формула Стокса. Следствия (формула Стокса, формула Остроградского-Гаусса).