1. Определение и примеры подпространств. Линейная оболочка множества векторов. Множество решений сиситемы однородных линейных уравнений. Образ и ядро линейного оператора - примеры подпространств.
2. Теорема о размерности ядра.
3. Пересечения и сумма подпространств. Формула, связывающая их размерности. Прямая сумма подпространств (два определения и их эквивалентность). Критерий того, то данное пространство является прямой суммой указанных подпространств.
4. Инвариантные подпространства. Примеры, в том числе ядро и образ. Связь одномерных инвариантных подпространств и собственных векторов. Как искать собственные векторы.
5. Кольцо линейных преобразований (построение и свойства). Изоморфизм векторных подпространств (определение и теорема V=F~, где n=dim V).
6. Матрица линейного преобразования. Определение, примеры. Матрица перехода. Связь матриц одного оператора в различных базах.
7. Основные формулы для матрицы линейного преобразования.
8. Неравенства для ранга матриц.
9. Как выделяет инвариантного подпространства влияет на вид матрицы. Базис из собственных векторов и диагонализируемые матрицы.
10. Лемма Фитинга.
11. Теорема о жорадановой форме матрицы нильпотентного оператора.
12. Теорема о жордановой форме (общий случай).
13. Теорема о единственности жордановой формы. Теорема Гамильтона-Кели.
14. Евклидовы и унитарные пространства (определения и следствия из аксиом). Примеры. Неравенство Коши-Буняковского.
15. Линейные нормированные пространства. Длина вектора. Угол между векторами. Неравенство треугольника.
16. Ортогональные и ортонормированные базисы. Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта.
17. Матрицы перехода в процессе ортогонализации. Ортогональные и унитарные матрицы.
18. Определение спряженного оператора и доказательство его существования. Матрица сопрояженного преобразования.
19. Определение нормального оператора. Классы нормальных операторов.
20. Теорема о матрице нормального оператора в Cn. Следствия.
21. Комплексификация. Теорема о матрице нормального оператора в Rn. Следствия.
22. Разложение оператора в сумму симметрических и кососимметрических операторов.
23. Метрически равные операторы. Полярное разложене. Положительно определенные операторы.
24. LQ - разложение.
25. Строение аффинного преобразования аффинного пространства.
26. Квадратичные и билинейные формы. Связь квадратичных и симметрических билинейных форм.
27. Матрица билинейной (квадратичной) формы. Переход к другой системе координат.
28. Приведение формы к главным осям.
29. Приведение формы к "сумме квадратов". Алгоритм Лагрнжа. Закон инерции.
30. Одновременное приведение пары квадратичных форм к "линейной комбинации квадратов".
31. Приведение произвольной билинейной формы к стандартному виду.
32. Аффинная классификация кривых и поверхностей второго порядка в R2 и R3.
33. Аффинная классификация кривых и поверхностей.
34. Группа, сохраняющая данную форму. Геометрия Евклида и геометрия Лобачевского.
35. Линейные функционалы (определение и свойства). Дуальное пространство. Теорема Рисса.

1. Сформулировать и доказать лемму Фиттинга.
2. Сформулировать и доказать теорему об одновременном приведении пары квадратичных форм к виду "линейная комбинация квадратов"
3. Найти все матрицы А из Rn (n-нижний индекс) со свойством АА'+А'А=0 (антинормальные матрицы).
4. Найти жорданову форму матрицы
   1 0 1 0 1 0 1 0
   0 1 0 1 0 1 0 1
   1 0 1 0 1 0 1 0
   0 1 0 1 0 1 0 1
   1 0 1 0 1 0 1 0
   0 1 0 1 0 1 0 1
   1 0 1 0 1 0 1 0
   0 1 0 1 0 1 0 1
   
5. То же для матрицы
   1 1 -2
   0 4 -4
   0 1 0
   
6. В R4 (4-верхний индекс) приведены две плоскости; одна проходит через точки (1;0;1;0), (1;1;1;1), (0;1;0;1), а вторая через точки (0;0;0;0), (0;1;1;0), (1;0;0;1). Найти угол между этими плоскостями.