%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ШАПКА %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[twoside,12pt,a4paper]{msm} % Класс документа
\usepackage[cp1251]{inputenc}             % Входная кодировка
\usepackage[russian]{babel}               % Русификация
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Параметры страницы %%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\evensidemargin 5mm \oddsidemargin 5mm \voffset -10mm \textheight
230mm \textwidth 150mm
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\yearpub{2001}                        % Год издания. Заполняет редакция.
\num{8}                               % Номер журнала. Заполняет редакция.
\renewcommand{\filename}{goots}   % Вставьте имя файла.
\author{А.К.~Гуц}                  % Автор или группа авторов.
\email{guts@univer.omsk.su} % Электронный адрес; если адреса нет, то строку закомментировать
\title{{Теоретико-топосная модель мультиверса~Дойча}} % Название статьи.
\shrtitle{Теоретико-топосная модель мультиверса Дойча}% Короткое название статьи для колонтитулов
\udc{530.12:531.51}                             % Вставьте УДК
\org{Омский государственный университет}  % Организация
\thanks{Работа выполнена при финансовой поддержке
РФФИ (проект 01-01-00303 -- теоретическая часть).}  % Раскомментируйте, если необходимо
\maketitle                                % Формирование оглавления
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Аннотация %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{quote}
{\small
The Deutsch multiverse is collection of parallel universes.
In this article a formal theory of the Deutsch
multiverse and a topos-theoretic model of multiverse are given.
For this the Lawvere-Kock Synthetic Differential Geometry
and  models for smooth infinitesimal analysis are used.
}
\end{quote}
%\vskip 3mm

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Т Е К С Т %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\R{{{\bf R} }}
\def\C{{{\rm I} \! \hspace*{-1.3mm} {\rm C}}}
\def\L{{{\bf L} }}
\def\D{{{\cal D} }}
\def\M{{{\cal M} }}
\def\F{{{\cal F} }}
\def\G{{{\cal G} }}
\def\Z{{{\cal Z} }}
\def\T{{{\cal T} }}
\def\d{{{\rm \Delta} \!\!\!\! {\Delta}}}
\def\N{{{\bf N} }}

\section*{Введение}

В книге Дэвида Дойча \cite{1} излагается эскиз структуры физической реальности, которая
представляет собой совокупность взаимодействующих параллельных вселенных, называемой
{\it мультиверсом}, правильное описание которого, как считает Дойч, возможно лишь в рамках
квантовой теории.


Наша цель -- оставаясь в рамках математического аппарата 4-мерной общей теории
относительности,
описывающей Вселенную как конкретное 4-мерное лоренцево многообразие $\langle R^4,\ g^{(4)}\rangle$,
называемое {\it пространством-вре\-менем},
 предоставить возможность учитывать наличие параллельных, т.е. других вселенных,
являющихся самыми различными 4-мерными псевдоримановыми многообразиями, за счет
любого необходимого
произвольного увеличения  размерности особого
Гиперпространства, объемлющего все вселенные. Более того, Гиперпространств должно быть
сколь угодно много;
геометрия, топология, размерность Гиперпространств  должны быть сколь угодно различными, чтобы
всегда можно было найти бесчисленное число вселенных, сколь угодно подобных нашей, и
одновременно
должно существовать сколь угодно много вселенных, совершенно непохожих на мир, в
котором мы живем.

Структура физической реальности должна учитывать прихоть мыслящего существа видеть ее
во всевозможных мыслимых формах, располагая при этом весьма скудным исследовательским
инструментарием, основой которого должны быть теория относительности и квантовая
механика.

Следут особо подчеркнуть, что мы не намерены переходить к многомерным теориям типа
Калуцы-Клейна. Нет, ни в коем случае. Подчеркиваем, что  основой теории
мультиверса должна быть 4-мерная метрика $g^{(4)}$.

Нетрудно понять, что поставленная нами цель требует  иного взгляда на общую
теорию относительности, поскольку мы собираемся совместить несовместимые вещи.
Тем не менее, выход находится при обращении к интуиционистскому взгляду на риманову
геометрию. Отказываясь от закона исключенного третьего, можно построить теорию,
включающую как классический вариант общей теории относительности, так и множество
других ее многомерных обобщений.


\section{Формальная теория мультиверса}

Теорию мультиверса следует строить как формальную теорию $\T$, максимально похожую на общую
теорию относительности, т.е. как теорию одной 4-мерной вселенной, а параллельные
вселенные должны появиться при построении моделей формальной теории.

Основой формальной теории $\T$ может послужить так называемая Синтетическая дифференциальная
геометрия (СДГ) Ловера-Кока \cite{Cock}. Как известно, из-за того, что принимаемая
СДГ аксиома Кока-Ловера несовместима с законом исключенного третьего,
нельзя построить модель этой теории
в категории теории множеств Кантора ${\bf Set}$.

Отказ от закона исключенного третьего приводит нас к интуиционистской логике,
которой мы должны придерживаться при развитии теории мультиверса, опираясь на СДГ.
Место теоретико-множественных моделей формальной теории мультиверса должны
занять теоретико-топосные модели. Последние хотя и обладают, в общем случае, внутренней
интуиционистской логикой, развиваются в рамках двузначной классической логики. Это
позволяет математику иметь дело с  привычными объектами, правда, в рамках
очень сложных конструкций, каковыми являются топосы.


Основным для СДГ Кока-Ловера является замена поля действительных чисел $\R$ на
коммутативное кольцо $R$. В идеале хотелось бы, чтобы оно удовлетворяло
следующим  аксиомам \footnote{Мы приводим только часть аксиом.
Другие аксиомы см. в \cite[Гл.VII]{Moer}.}:

{\small
\begin{itemize}
  \item [(A1)] $\langle R,+,\cdot,0,1\rangle$ -- коммутативное кольцо.
  \item [(A2)] $R$ локальное кольцо, т.е.
  $$
  \begin{array}{l}
    0=1 \Longrightarrow \bot \\
    \exists y\ (x\cdot y=1) \exists y \ (1-x)\cdot y=1.
  \end{array}
  $$
  \item [(A3)] $\langle R,<\rangle$ -- действительное упорядоченное  локальное кольцо, т.е.
  $<$ -- транзитивное отношение, совместимое с кольцевой структурой в том смысле, что
  $$
\begin{array}{l}
(a)\ 0<1,\ (0<x\ \& \ 0<y \Longrightarrow 0<x+y\ \& \ 0<x\cdot y), \\
(b)\ \exists y (x\cdot y=1)\Longleftrightarrow (0<x \vee x<0), \\
(c)\ 0<x \Longrightarrow \exists y(x=y^2)\ (\mbox{евклидовость}).
\end{array}
$$
  \item [(A4)] $\leq$ -- предпорядок, совместимый с кольцевой структурой, т.е.
  рефлексивное и транзитивное отношение, и
$$
\begin{array}{l}
  (a)\ 0\leq 1,\ (0\leq x\ \& \ 0\leq y \Longrightarrow 0\leq x+y\ \& \ 0\leq x\cdot y),\ 0\leq x^2, \\

   (b)\ (x -\mbox{нильпотент, т.е.}\ x^n=0)   \Longrightarrow 0\leq x.
   \end{array}
$$
  \item [(A5)] $<$ и $\leq$ -- совместимы, т.е.
$$
\begin{array}{l}
  (a)\ x<y \Longrightarrow x \leq y,\\
  (b)\ x<y\ \& \ y\leq x \Longrightarrow \bot.
\end{array}
$$
  \item [(A6)] (Аксиома Кока-Ловера). Для любого
  $$
  \forall(f\in R^D)  \exists ! (a,b)\in R\times R \forall d\in D( f(d)=a+b\cdot
  d),
  $$
  где $D=\{x\in R : x^2=0\}$.

\smallskip
Как показано в \cite{Cock}, аксиома (A6) несовместима с законом исключенного
третьего.
\smallskip

  \item [(A7)] (Аксиома интеграла).
  $$
  \forall f\in R^{[0.1]}\exists!g\in
  R^{[0.1]}(g(0)=0 \ \& \ \forall x\in [0,1]\ (g^\prime (x)=f(x)),
  $$

  где $[0,1]=\{x\in R : 0\leq x\ \& \ x\leq 1\}$ и $g^\prime(x)$ -- это единственное $b$
  такое, что $\forall d\in D(g(x+d)=g(x)+b\cdot d)$.

  Используется символическая запись
  $$
  g(x)=\int\limits_0^1f(t)dt.
  $$
\item [(A8)]   ${\displaystyle \forall x\in [0,1]\ 0<f(x) \Longrightarrow
  0<\int\limits_0^1f(x)dx}$.
  \item [(A8$^\prime$)] ${\displaystyle \forall x\in [0,1]\ 0\leq f(x) \Longrightarrow
  0\leq\int\limits_0^1f(x)dx}$.
\item [(A9)] (Существование обратной функции).
$$
\forall f\in R^R \  \forall x\in R\ \ (f^\prime(x)- \mbox{обратимо}\Longrightarrow
$$
$$ \Longrightarrow
\exists \mbox{ открытые}\ U,V(x\in U\ \&\ f(x)\in V\ \&\ f|_U:U\to V - \mbox{биекция})).
$$
\item [(A10)] $N\subset R$, т.е. $\forall x\in N\ \exists y\in R (x=y)$.
\item [(A11)] $R$ -- архимедово, т.е. $\forall x\in R\ \exists n\in N (x<n)$.
\item [(A12)] (Аксиомы Пеано).
$$
\begin{array}{l}
  0\in N  \\
  \forall x\in R\ (x\in N \Longrightarrow  x+1\in N)\\
\forall x\in R\ (x\in N\ \&\ x+1=0 \Longrightarrow  \bot).
\end{array}
$$
\end{itemize}
}



Кольцо $R$ дополнительно к обычным действительным числам из $\R$ располагает
элементами, называемыми {\it инфинитезималами} и входящими в <<множества>>
$$
D=\{d\in R : d^2=0\}, ..., D_k=\{d\in R : d^{k+1}=0\},...,
$$
$$
\d=\{x\in R : f(x)=0, \ f\in m_0^g \},
$$
где $m^g_{\{0\}}$ -- идеал функций, имеющих нулевой росток в 0\ \footnote{Иначе говоря,
исчезающих в некоторой окрестности точки 0.},
причем
$$
D\subset D_2\subset ... \subset D_k\subset... \subset \d.
$$


В рамках изложенной аксиоматики можно построить \cite{gu,gugri} риманову геометрию для 4-мерных
(формальных) многообразий $\langle R^4, g^{(4)}\rangle$, являющуюся
основой для эйнштейновской теории гравитации.

Мы постулируем, что {\it мультиверс -- это 4-мерное пространство-время, описываемое
с помощью СДГ,
т.е. является формальным лоренцевым многообразием $\langle R^4, g^{(4)}\rangle$, для которого
выполняются  уравнения Эйнштейна, представленные  в традиционном виде}:
\begin{equation}\label{ein}
R^{(4)}_{ik}-\frac{1}{2}g^{(4)}_{ik}(R^{(4)}-2\Lambda)=\frac{8\pi G}{c^4}T_{ik}.
\end{equation}
Решением этих уравнений будет 4-метрика $g^{(4)}$.

На формальном уровне физические следствия таких предположений не так заметны,
как математические. Поэтому
необходимо обратиться к моделям формальной теории. Наиболее исследованными являются так
называемые хорошо адаптированные модели вида ${\bf Set}^{\L^{op}}$, содержащие как полную
 подкатегорию категорию
гладких многообразий $\M$.



\section{Гладкие топосные модели мультиверса }

Пусть $\L$ -- это дуальная категория для категории конечно порожденных $C^\infty$-колец.
Она называется {\it категорией локусов} \cite{Moer}. Объектами категории $\L$ являются
все те же конечно порожденные $C^\infty$-кольца, а морфизмами -- обращенные морфизмы
категории конечно порожденных $C^\infty$-колец. Принято во избежание путаницы объекты
(локусы) категории $\L$ обозначать как $\ell A$, где  $A$ --  $C^\infty$-кольцо.
Следовательно, $\L$-морфизм $\ell A \to \ell B$ -- это $C^\infty$-гомоморфизм
$B \to A$.

Конечно порожденное $C^\infty$-кольцо $\ell A$ изоморфно кольцу
вида $C^\infty(\R^n)/I$ (для некоторого натурально числа $n$ и
некоторого конечно порожденного идеала~$I$).



Категория ${\bf Set}^{\L^{op}}$ является топосом. Мы рассмотрим топос ${\bf
Set}^{\L^{op}}$ как модель формальной теории мультиверса. Важно отметить, что
модель ${\bf Set}^{\L^{op}}$ обладает патологическими свойствами: многие из аксиом
(A1)-(A12) не выполняются в ${\bf Set}^{\L^{op}}$. Например, оказывается, что
{\it гладкая прямая} $R$, будучи коммутативным кольцом с единицей 1, не является при
этом даже локальным кольцом, т.е. нарушается аксиома (A2). Более того, $R$ не обладает
свойством архимедовости (аксиома (A11)).

Можно рассматривать в качестве моделей топосы $\F, \G$ и $\Z$ и многие другие
\cite[Appendix 2]{Moer}. Для них выполнены все аксиомы
(A1)-(A12) (см.\cite[c.300]{Moer}). Однако работа с топосом ${\bf Set}^{\L^{op}}$
позволяет быстрее ознакомиться с излагаемой теорией мультиверса, не усложняя изложение
математическими конструкциями.

На языке Дойча переход к конкретной модели формальной теории -- это порождение
{\it виртуальной реальности} \footnote{Это предположение автор услышал от
А.А.Звягинцева.}. Физическая реальность, воспринимаемая нами и названнная
Дойчем {\it мультиверсом} \footnote{Multiverse -- много (multi-) вселенных (universe);
причем  universe -- одна (uni) вселенная. Другой не мыслили, и это отразилось в языке.},
 также является виртуальной реальностью, созданной нашим мозгом
\cite[c.140]{1}. Более того, <<виртуальная реальность, основанная на неправильных
законах, и {\it есть} наш единственный источник получения знаний! ... А поскольку наши
концепции и теории (будь они врожденные или приобретенные) никогда не совершенны,
все наши передачи на самом деле неточны. То есть, они дают нам ощущение среды, которая
значительно отличается от среды, в которой мы действительно находимся>>~\cite[c.140]{1}.

\medskip
Модель мультиверса -- это {\it генератор виртуальной реальности}, который обладает определенным
{\it репертуаром сред}, которые он создает и в которые мы погружаемся. Поясним, как это
происходит.


\medskip
При интерпретации $i: {\bf Set}^{\L^{op}}\models \T$ формальной теории $\T$ мультиверса в топосе ${\bf Set^{\L^{op}} }$
объектам теории, например кольцу $R$, степени $R^R$ и т.д., ставятся в соответствие
объекты топоса, т.е. функторы $F=i(R)$, $F^F=i(R^R)$ и т.д. Отображениям,
 например $R\to R$,  $R\to R^R$,
-- морфизмы топоса ${\bf Set}^{\L^{op}}$, т.е. естественные преобразования функторов --
$F\to F$, $F\to F^F$.

Наконец, при интерпретации языка формальной теории мультиверса необходимо приписать
элементам
кольца $R$ <<элементы>> функторов $F\in {\bf Set}^{\L^{op}}$. Иначе говоря, нужно
проинтерпретировать отношение $r\in R$. Это сделать не так просто потому, что функтор
$F$ определен на категории локусов $\L$; его переменной (аргументом) является
произвольный
локус $\ell A$, а значением множество $F(\ell A)\in {\bf Set}$. Выход из затруднения
заключается в определении {\it обобщенных элементов} $x\in_{\ell A}F$ функтора $F$.

Обобщенным элементом $x\in_{\ell A}F$, или {\it элементом $x$ функтора  $F$ в стадии
${\ell A}$},
называется элемент $x\in F({\ell A})$.

Теперь можно сопоставить элементу $r\in R$ обобщенный элемент $i(r)\in_{\ell A}F$. Но,
как видим, таких элементов столько сколько локусов. При переходе к модели
${\bf Set}^{\L^{op}}$ происходит <<размножение>> элемента $r$. Он начинает существовать
в бесконечном числе вариантов $\{i(r): i(r)\in_{\ell A}F, \ell A\in \L \}$.

Важно отметить, что поскольку 4-метрика $g^{(4)}$ -- это элемент
объекта
$R^{R^4\times R^4}$, то <<интуиционистская>> 4-метрика начинает существовать в
бесконечном числе классических вариантов $i(g)^{(4)}\in_{\ell A}i(R^{R^4\times R^4})$.
Обозначим каждый такой вариант как $i(g)^{(4)}(\ell A)$.

Для упрощения изложения будем далее иметь дело с объектами модели
${\bf Set}^{\L^{op}}$. Другими словами, будем писать $g^{(4)}(\ell A)$ вместо
$i(g)^{(4)}(\ell A)$.

 Нетрудно понять, что каждый вариант $g^{(4)}(\ell A)$
классической 4-метрики удовлетворяет <<своему>> уравнению Эйнштейна \cite{gu}
\begin{equation}\label{einA}
R^{(4)}_{ik}(\ell A)-\frac{1}{2}g^{(4)}_{ik}(\ell A)[R^{(4)}(\ell
A)-2\Lambda(\ell A)]=\frac{8\pi G}{c^4}T_{ik}(\ell A).
\end{equation}
Причем не исключено, что физические константы $G,c$ также могут меняться от варианта к
варианту.




\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[width=14.3cm,height=4.5cm]{gu11.eps}
\caption{\footnotesize  Физическая (виртуальная) реальность ${\bf R}^4$ как сумма
многомерных гиперпространств (сред),
 расслоенных
на параллельные 4-мерные вселенные, соответствующих различному <<вычислению>> реальности.}
\label{gu11}
\end{figure}


%Для упрощения изложения будем далее иметь дело с объектами модели
%${\bf Set}^{\L^{op}}$. Другими словами, будем писать



Прежде чем пойти дальше, укажем на существование вложения Ионеды (Yoneda)
$$
y:\L\hookrightarrow {\bf Set}^{\L^{op}},
$$
$$
y(\ell A)=Hom_\L(-, \ell A).
$$
Примем, что кольцо $R$
интерпретируется как функтор $y(\ell C^\infty(\R))$, т.е.$i(R)=y(\ell C^\infty(\R))$.
Будем далее писать $\ell A$ вместо $y(\ell A)$ и опустим символ $i$. Тогда имеем
$$
R(-)=\ell C^\infty(\R)(-)=Hom_\L(-, \ell C^\infty(\R)).
$$
Аналогично
$$
R^{R^4\times R^4}(\ell A)=Hom_\L(\ell A, R^{R^4\times R^4})=
Hom_\L(\ell A\times (R^4\times R^4), R)=
$$
$$
=Hom_\L(\ell C^\infty(\R^m)/I\times \ell C^\infty(\R^4)\times \ell C^\infty(\R^4),\ell
C^\infty(\R))=
$$
$$
=Hom_{\L^{op}}(\ell C^\infty(\R),
C^\infty(\R^m)/I\otimes_\infty C^\infty(\R^4)\otimes_\infty C^\infty(\R^4))=
$$
$$
=Hom_{\L^{op}}(C^\infty(\R), C^\infty(\R^{m+8})/(I,\{0\}))
=Hom_\L(\ell C^\infty(\R^{m+8})/(I,\{0\}),\ell C^\infty(\R)),
$$
где $\ell A=\ell C^\infty(\R^m)/I$, $\otimes_\infty$ -- символ копроизведения
$C^\infty$-колец, и при вычислении использованы формулы
$$
C^\infty(\R^n)\otimes_\infty C^\infty(\R^k)=C^\infty(\R^{n+k}),
$$
$$
\frac{\ell A\to \ell C^{\ell B}}{\ell B\times \ell A\to \ell C}.
$$
Отсюда следует, что при $\ell A=\ell C^\infty(\R^m)$
$$
g^{(4)}(\ell A)=[g\in_{\ell A}R^{R^4\times R^4}]\equiv
g^{(4)}_{ik}(x^0,...,x^3, a)dx^idx^k, \ \ a=(a^1,...,a^m)\in \R^m.
$$
Дополним метрику $g^{(4)}_{ik}(x^0,...,x^3, a)$ до (4+m)-метрики в пространстве
$\R^{4+m}$
\begin{equation}\label{met}
 g^{(4)}_{ik}(x^0,...,x^3, a)dx^idx^k-da^{1^2}-...-da^{m^2}.
\end{equation}
Получаем $(4+m)$-мерную геометрию.

Символически процедуру получения многомерных вариантов геометрии, порождаемых
интуиционистской 4-геометрией $g^{(4)}$, можно представить в виде формальной
суммы
$$
g^{(4)}=c_0\cdot\hspace*{-3mm}\underbrace{[g^{(4)}\in_{\bf 1}R^{R^4\times R^4}]}_{\mbox{\footnotesize 4-мерная геометрия}}+
c_1\cdot\underbrace{[g^{(4)}\in_{\ell C^\infty(\R^1)}R^{R^4\times R^4}]}_{\mbox{\footnotesize 5-мерная геометрия}}+...
$$
$$
...+c_{n-4}\cdot\underbrace{[g^{(4)}\in_{\ell C^\infty(\R^{n-4})}R^{R^4\times R^4}]}_{\mbox{\footnotesize n-мерная
геометрия}}+...,
$$
где коэффициенты $c_m$ берутся из поля комплексных чисел.

Поскольку стадий несчетное число, то вместо суммы следует писать интеграл
\begin{equation}\label{metr1}
  g^{(4)}=\int\limits_{\L}\D[\ell A]c(\ell A)[g^{(4)}\in_{\ell C^\infty(\R^{n-4})}R^{R^4\times
R^4}].
\end{equation}
Используем обозначения квантовой механики \footnote{Дираковские обозначения:
$|P\rangle=\psi(\xi)\rangle\equiv \psi(\xi)$; в данном случае $\psi(\xi)$ -- это
$g^{(4)}$ (представитель
состояния $|P\rangle$), а
 $|P\rangle$ -- это $|g^{(4)}\rangle$ \cite[c.111-112]{Dir}.}:
$$
g^{(4)}\to |g^{(4)}\rangle, \ \ \
[g^{(4)}\in_{\ell C^\infty(\R^{n-4})}R^{R^4\times R^4}]\to |g^{(4)}(\ell A)\rangle.
$$
Тогда (\ref{metr1}) перепишется в виде
\begin{equation}\label{metr2}
|g^{(4)}\rangle=\int\limits_{\L}\D[\ell A]c(\ell A)|g^{(4)}(\ell A)\rangle.
\end{equation}
Таким образом, формальная 4-геометрия Кока-Ловера $\langle R^4,g^{(4)}\rangle$ есть
сумма бесконечного числа
классических многомерных псевдоримановых геометрий (гиперпространств), которые расслаиваются посредством
фиксации $a=a_0$ на 4-мерные параллельные вселенные. Геометрические свойства
параллельных вселенных могут, как показано в \cite{guz,guz1}, существенно различаться
даже в рамках одной стадии $\ell A$. О природе, смысле коэффициентов $c(\ell A)$
поговорим ниже в~\S 5.

\medskip
Здесь как раз уместно вспомнить о средах виртуальносй реальности, которые должны
возникать при обращении к модели мультиверса, в данном случае к модели
${\bf Set}^{\L^{op}}$, являющейся генератором виртуальной реальности.
Нетрудно понять, что обобщенные элементы $|g^{(4)}(\ell A)\rangle$ -- это метрики конкретной
среды (=гиперпространство) с <<номером>> $\ell A$. Другими словами, обращение к изучению любого объекта
теории в стадии $\ell A$ есть не что иное, как переход к одной из сред, входящих в
репертуар генератора виртуальной реальности ${\bf Set}^{\L^{op}}$.




\section{Космология Дойча-Гёделя}

В качестве примера мультиверса рассмотрим космологическое решение Гёделя~\cite{ged}:
\begin{equation}\label{mged}
g^{(4)}_{ik}=\alpha^2\left(\begin{array}{cccc}
  1 & 0 & e^{x^1} & 0 \\
  0 & -1 & 0 & 0 \\
  e^{x^1} & 0 & e^{2x^1}/2 & 0 \\
  0 & 0 & 0 & -1
\end{array}\right)
\end{equation}
\begin{equation*}
(g^{(4)})^{ik}=\frac{1}{\alpha^2}\left(\begin{array}{cccc}
  -1 & 0 & 2e^{-x^1} & 0 \\
  0 & -1 & 0 & 0 \\
  2e^{-x^1} & 0 & -2e^{-2x^1} & 0 \\
  0 & 0 & 0 & -1
\end{array}\right)
\end{equation*}
Эта метрика удовлетворяет уравнениям Эйнштейна (\ref{ein}) с тензором энергии-импульса
пылевой материи
$$
T_{ik}=c^2\rho u_iu_k,
$$
при условии, что
\begin{equation}\label{gcond}
\frac{1}{\alpha^2}=\frac{8\pi G}{c^2}\rho, \ \ \Lambda=-\frac{1}{2\alpha^2}=
-\frac{4\pi G\rho}{c^2}.
\end{equation}
Если теперь положить
\begin{equation}\label{const}
\alpha=\alpha_0+d, \Lambda=\Lambda_0+\lambda, \rho=\rho_0+\varrho,
\end{equation}
где $d,\lambda,\varrho\in D$ -- инфинитезималы, и подставить в (\ref{gcond}), то
имеем
$$
\frac{1}{(\alpha_0+d)^2}=\frac{1}{\alpha_0^2}-\frac{2d}{\alpha_0^3}=
\frac{8\pi G}{c^2}(\rho_0+\varrho),
$$
$$
2\Lambda_0+2\lambda=-\frac{1}{\alpha_0^2}+\frac{2d}{\alpha_0^3},\ \ \Lambda_0+\lambda=
-\frac{4\pi G\rho_0}{c^2}-\frac{4\pi G\varrho}{c^2}.
$$
Предположим, что $\alpha_0,\Lambda_0,\rho_0$ связаны соотношениями (\ref{gcond}). Тогда из
предыдущих равенств находим связь между инфинитезиамалами
$$
\lambda=-\frac{4\pi G}{c^2}\varrho, \ \ d=-\frac{4\pi Ga_0^3}{c^2}\varrho.
$$
При интерпретации в гладком топосе ${\bf Set}^{\L^{op}}$ инфинитезимал $\varrho\in D$ в стадии
$\ell A=C^\infty(\R^m)/I$ представляется классом гладких функций вида $\varrho(a)mod\ I$,
где
$[\varrho(a)]^2$ $ \in I$ \cite[c.77]{Moer}.

Рассмотрим состояние мультиверса Гёделя, точнее, мультиверса Дойча-Гё\-де\-ля
в стадии $\ell A=\ell C^\infty(\R)/(a^4)$ \footnote{Через $(f_1,...,f_k)$ обозначается
идеал кольца
$C^\infty(\R^n)$, порожденный функциями $f_1,...,f_k\in C^\infty(\R^n)$, т.е. имеющий вид
$\sum_{i=1}^kg_if_i$, где  $g_1,...,g_k\in C^\infty(\R^n)$ -- произвольные гладкие функции.}.
 Очевидно, что можно взять инфинитезимал
вида  $\varrho(a)=a^2$. Мультиверс в этой стадии является 5-мерным гиперпространством, слои
которого, задаваемые уравнением $a=a_0$, -- параллельные вселенные (среды) $R^4(\ell A)$
с метрикой $g^{(4)}(\ell A)=g^{(4)}_{ik}(x,a)$, заданной формулами (\ref{mged}) с учетом
(\ref{const}). Плотность материи $\rho=\rho_0+\varrho(a)$ начнет расти от классического
значения $\rho_0\sim 2\cdot 10^{-31}$ {\it г/см$^3$} до $+\infty$
при $a\to \pm\infty$. Начинает неограниченно расти до $-\infty$ и космологическая
постоянная. Все это говорит о том, что параллельные вселенные могут иметь физические свойства,
совершенно отличные от свойств нашей Вселенной.

В стадии $\ell A=\ell C^\infty(\R)/(a^2)$ \ $\varrho(a)=a$ и $\rho=\rho_0+\varrho(a)\to
-\infty$
при $a\to -\infty$, т.е. становится физически неинтерпретируемой, поскольку не ясно, что
представляет собой <<экзотическая>> материя с отрицательной плотностью.

Наконец, в стадии ${\bf 1}=\ell C^\infty(\R)/(a)$ все $\varrho(a)=d(a)=\lambda(a)=0$,
т.е. имеем дело с классической вселенной Гёделя.

\section{Квантовые свойства геометрии параллельных\\ вселенных}

В излагаемой теории мультиверса естественным образом переносятся идеи
квантовой геометродинамики Уилера. Так, формула для амплитуды вероятности
перехода от 3-геометрии $g^{(3)}$ физического пространства к 3-геометрии
$h^{(3)}$ принимает вид <<двойного>> интеграла Фейнмана по траекториям,
которыми являются различные 4-геометрии $g^{(4)}$:
$$
\langle g^{(3)}|h^{(3)}\rangle=\int\limits_{\L}\D[\ell A]\int\limits_{ g^{(3)}(\ell A) }^{ h^{(3)}(\ell A) }
\D[g^{(4)}(\ell A)]e^
{ \frac{ i}{\hbar} S[g^{(4)}(\ell A)] },
$$
где
$$
S[g^{(4)}(\ell A)]=\kappa_m(\ell A)\int\limits_{\R^{4+m}}
\sqrt{ -\det||g^{(4)}(\ell A)|| }
R^{(4)}(\ell A)d^4xd^ma
$$
-- действие в пространстве $\langle \R^{4+m},g^{(4)}(\ell A)\rangle$.

Как видим, в действительности интеграл Фейнмана по траекториям $g^{(4)}$ --
это бесконечное число интегралов по $(4+m)$-мерным траекториям $g^{(4)}(\ell A)$
вида~(\ref{met}).

Повторяя вычисления Уилера, можно оценить квантовые флутуации 4-мет\-ри\-ки
$g^{(4)}\to g^{(4)}+\Delta g^{(4)}$, не вносящие искажение в интерференционную картину,
задаваемую интегралами по траекториям.

При предположении, что при флуктуациях $\det||g^{(4)}(\ell A)||\sim 1$, получаем для
искомых флуктуаций в $(4+m)$-мерной области с размерами $L^4\times L_1^m$
\begin{equation}\label{fluc}
\Delta g^{(4)}(\ell A)\sim \frac{L^*}{L}\left(\frac{T}{L_1}\right)^{\frac{m}{2}},
\end{equation}
где
$$
L^*=\sqrt{\frac{G\hbar}{c^3}}\sim 10^{-33}\mbox{{\it см}}
$$
-- планковская длина и принято, что $\kappa_m(\ell A)\sim c^3/(\hbar GT^m)$, где
$T$ [{\rm см}] -- величина, характеризующая <<размеры>> дополнительных измерений.

Из (\ref{fluc}) вытекает, что при $L\sim L^*, L_1\sim T$ все флуктуации
$\Delta g^{(4)}(\ell A)\sim 1$, т.е. становятся существенными.
Геометрия и топология <<пенятся>> на уровне микромира.


Как показано в \cite{guz4,guz5}, флуктуации могут иметь место и на макроскопических
расстояниях или отрезках времени. Это возможно за счет высших измерений, которые
появляются за счет рассмотрения мультиверса в различных  стадиях $\ell A$, т.е.
различных состояний (сред) $R^4(\ell A)$ мультиверса.

\section{Электроны-двойники}

Дойч предположил, что параллельная вселенная образуется за счет {\it теневых} элементарных
частиц, сопровождающих каждую {\it реальную} частицу. Реальные частицы <<мы можем увидеть
или обнаружить с помощью приборов, тогда как вторые (теневые -- А.Г.) -- неосязаемы
(невидимы): их можно обнаружить только косвенно через их воздействие на видимые>>
частицы \cite[c.48]{1}. <<Между реальными и теневыми фотонами не существует особой
разницы: каждый фотон осязаем в одной Вселенной и не осязаем во всех параллелных
Вселенных>>.




Уравнение Дирака в СДГ
\begin{equation}\label{dir}
{\displaystyle  i\hbar {\gamma}^{(k)}\frac{\partial\psi}
{\partial x^{\scriptscriptstyle k}}-mc\psi =0}
\end{equation}
в пространстве-времени Минковского, т.е. в мультиверсе Дойча-Минковского $M^4$ с метрикой,
записанной в виде
\begin{equation}\label{1}
 ds^2=dx^{0^2}-dx^{1^2}- dx^{2^2}-dx^{3^2}
\end{equation}
имеет, например, следующее решение
\begin{equation}\label{psi}
\psi(x)=\left(\begin{array}{c}
\  \ 1 \\
\  \ 1 \\
  -1 \\
 \ \ 1
\end{array}\right)e^{\vspace*{-1cm}\frac{mc}{\hbar}x^2+g(x^3+x^0)+i\theta\cdot f(x^3+x^0)},
\end{equation}
которое при $\theta\cdot f(x^3+x^0)=const$ являтся спинорным духом \footnote{Данное решение найдено
Е.В.Палешевой.}, т.е.
имеет нулевой тензор-энергии импульса поля $\psi(x)$
\begin{equation}\label{4}
T_{ik}=\frac{i\hbar c}{4}\left\{{\psi}^*\gamma^{(0)}{\gamma}_{(i)}\frac{\partial\psi}{\partial
x^{\scriptscriptstyle k}}-\frac{\partial {\psi}^*}{\partial x^{
\scriptscriptstyle k}}{\gamma}^{(0)}\gamma_{(i)}\psi+
{\psi}
^*{\gamma}^{(0)}{\gamma}_{(k)}\frac{\partial\psi}{\partial x^{\scriptscriptstyle i}}
-\frac{\partial {\psi}^*}{\partial x^{\scriptscriptstyle
i}}{\gamma}^{(0)}\gamma_{(k)}\psi\right\}.
\end{equation}
Спинорный дух, как видим, описываемый спинорым {\it полем} $\psi$, является призрачным,
поскольку не обладает ни энергией, ни импульсом. Уместно вспомнить замечание Эйнштейна на
соотношение электромагнитного поля и световых квантов (фотонов).
<<Эйнштейн считал, что поле <<прокладывает путь>> световым квантам. Эти поля определяют
вероятность найти в системе квант, который переносит вдоль заданного пути
энергию и импульс. Сами же поля, поскольку они призрачны, не обладают ни энергией, ни
импульсом>> \cite[c.71-72]{Bel}.


Поскольку духи как спинорное поле не имеют энергии и импульса, то они
 {\it не могут фиксироваться
приборами}. Они неосязаемы.
Именно поэтому Е.В.Пале\-ше\-ва предложила \cite{Pal} отождествлять спинорные
духи с теневыми частицами Дойча.

Решению $\psi$ можно сопоставить \footnote{См. примечание 5.} дираковский ket-вектор $|\Psi\rangle$, представленный
 в виде суммы \footnote{Приводимая формула и придаваемый ей в этой статье
смысл имеет прямое отношение к эвереттовской трактовке квантовой механики \cite{ever}. }
\begin{equation}\label{sol1}
|\Psi\rangle=\int\limits_{\L}\D[\ell A]a(\ell A)|\Psi(\ell A)\rangle.
\end{equation}
Естественно трактовать  $\psi=|\Psi\rangle$. Тогда $\psi^*\psi=\langle \Psi|\Psi\rangle$
-- плотность вероятности электрона и
 \begin{equation}\label{sol2}
\int\limits_{R^4}\psi^*\psi d^4x=\int\limits_{R^4}\langle \Psi|\Psi\rangle d^4x=1.
\end{equation}
Полагая, что
$$
\langle \Psi|=\int\limits_{\L}\D[\ell B]a^*(\ell B)\langle \Psi(\ell B)|.
$$
Поэтому
$$
1=\int\limits_{R^4}\langle \Psi|\Psi\rangle d^4x=
\int\limits_{\R^4} d^4x\int\limits_{\L}\D[\ell B]
\int\limits_{\L}\D[\ell A]a^*(\ell B)a(\ell A)
\langle \Psi(\ell B)|\Psi(\ell A)\rangle =
$$
$$
=\int\limits_{\L}\D[\ell B]a^*(\ell B)\int\limits_{\L}\D[\ell A]a(\ell A)
\left(\hspace*{2mm}\int\limits_{\R^4} d^4x\langle \Psi(\ell B)|\Psi(\ell A)\rangle \right)=
$$
$$
=\int\limits_{\L}\D[\ell B]a^*(\ell B)\int\limits_{\L}\D[\ell A]a(\ell A)
\delta(\ell B-\ell A)
=\int\limits_{\L}\D[\ell B]a^*(\ell B)a(\ell B),
$$
где положили (как логическое продолжение равенства (\ref{sol2}), что
$$
\int\limits_{\R^4} d^4x\langle \Psi(\ell B)|\Psi(\ell A)\rangle=\delta(\ell B-\ell A),
$$
$$
\int\limits_{\L} \D[\ell B]f(\ell B)\delta(\ell B-\ell A)=f(\ell A).
$$
Следовательно,
$$
\int\limits_{\L}\D[\ell A]a^*(\ell A)a(\ell A)=1.
$$
и вполне разумно допустить, что $a^*(\ell A)a(\ell A)$ -- это квадрат модуля амплитуды
вероятности стадии $\ell A$, характеризующий вероятность наблюдения электрона в стадии
$\ell A$ мультиверса $M^4$.

\medskip
Такой вывод позволяет трактовать $c^*(\ell A)c(\ell A)$, где  $c(\ell A)$ -- комплексные
коэффициенты в разложении (\ref{metr2}) 4-метрики мультиверса $\langle R^4, g^{(4)}\rangle$,
 как вероятность
(точнее, квадрат модуля амплитуды вероятности)
того, что мультиверс находится в состоянии $|g^{(4)}(\ell A)\rangle$  \footnote{Метрика -- это
гравитационное поле, определяющее геометрию и в определенной мере топологию
пространства-времени. Поэтому естественно отождествлять состояние (среду) мультиверса
$|R^4(\ell A)\rangle$ в стадии $\ell A$ (см., например, рис.\ref{gu11}) с
состоянием 4-метрики $|g^{(4)}(\ell A)\rangle$.}.
\medskip

Пусть в выражении для спинорного поля (\ref{psi}) число $\theta=1-\varepsilon$, где
$\varepsilon$
инфинитезимал, т.е. $\epsilon\in \d=\{x\in {\bf R}| f(x)=0, \ f\in m^g_{\{0\}}\}$, \
$m^g_{\{0\}}$ идеал функций, имеющих нулевой росток в 0.

Если $\epsilon\in \d$, то $\varepsilon$ в стадии $\ell C^\infty (\R^n)/I$
задается функцией $\varepsilon(a), a\in \R^n$ такой, что для  для любой
$\phi\in m^g_{\{0\}}$ \ \
$\phi(\varepsilon(a))\in I$ \ \cite[c.77]{Moer}.

Имеем
$$
\phi(\varepsilon(a))=\phi(\varepsilon(0))+\sum_{|\alpha|=1}^\infty\frac{1}{\alpha !}
 D^\alpha(\phi\circ\varepsilon)(0)a^\alpha=
$$
\begin{equation}\label{pe}
= \phi(\varepsilon(0))+
 \sum_{|\alpha|=1}^\infty\frac{1}{\alpha !}
 \left(\sum_{|\beta|=1}^{|\alpha|}
 D^\beta \phi(\varepsilon(0))P_\beta(\varepsilon(0))\right)a^\alpha,
\end{equation}
где $\alpha,\beta$ -- мультииндексы и $P_\beta$ -- некоторые полиномы.

В стадии $\ell C^\infty (\R^n)$ \ \ $\phi(\varepsilon(a))\in I=\{0\}$ для
любой $\phi\in m^g_{\{0\}}$. Поэтому из
(\ref{pe}) следует, что прежде всего $\phi(\varepsilon(0))=0$, и, следовательно,
$\varepsilon(0)=0$. Кроме этого
$$
\sum_{|\beta|=1}^{|\alpha|}
 D^\beta \phi(\varepsilon(0))P_\beta(\varepsilon(0))=0.
$$
Но для любой $\phi\in m^g_{\{0\}}$ \ \ $D^\beta \phi(0)=0$. Поэтому $\epsilon(a)$
произвольная функция, удовлетворяющая условию $\varepsilon(0)=0$.

Возвращаясь к полю (\ref{psi}), примем, что $\theta(a)=1-\varepsilon$, где
$$
\varepsilon(0)=0, \ \ \varepsilon(a) > 0 \ \mbox{при}
 \ a\neq 0, \ \mbox{и}\ \epsilon= 1\ \mbox{при}\ ||a||\geq r_0,
$$
а $f$ некоторая не
равная тождественно нулю функция. Тогда в стадии    $\ell A=\ell C^\infty (\R^n)$
имеем
$$
\theta(a)=1-\varepsilon(a)=\left\{
\begin{array}{c}
  0\ \ \ \ \mbox{при}\ ||a||\geq r_0, \\
  >0\ \mbox{при}\ ||a|| < r_0.
\end{array}\right.
$$
Следовательно, в стадии    $\ell A=\ell C^\infty (\R^n)$ поле $\psi$ не является
спинорным духом в нашей Вселенной ($a=0$) и во вселенных
с $||a||<r_0$, но  -- дух
в параллельных вселенных, для которых
 $\varepsilon(a)\geq r_0$. Можно взять число $r_0$ %\sim L^*$
 столь малым, что вселенные, <<помеченные>> параметром $a$ с $||a||<r_0$, в силу квантового
 вспенивания топологии и геометрии, должны рассматриваться как одна вселенная ($r_0$ --
 <<толщина>>   вселенной).
 Это означает, что поле $\psi$ -- это реальная частица в нашей Вселенной и теневые
  частицы-двойники
  во всех других вселенных.

  Если же взять $\theta\in \d$ так, что
 $$
\theta(a) > 0 \ \mbox{при}  \ ||a-a_0||<r_0 \ \mbox{и}\ \theta(a)= 0\ \mbox{при}\ ||a||> r_0,
 $$
где $a_0\neq 0$ и $r_0<||a_0||$, то поле $\psi$ в стадии  $\ell C^\infty (\R^n)$
не является спинорным духом во вселенной
$a=a_0$, имеющей <<толщину>> $r_0$, и является духом, т.е. теневой частицей-близнецом, во
всех других вселенных, включая нашу Вселенную ($a=~0$).

При этом
в стадии  ${\bf 1}=\ell C^\infty (\R^0)=\ell C^\infty (\R)/(a^1)$ \ \
$\theta\cdot f(x^3+x^0)\mod \{a^1\}=f(x^3+x^0)$.  Это означает, что мы имеем дело с
обычной частицей, несущей энергию и импульс.

\section{Фотонные духи и фотоны-двойники}

Как известно, плоская монохроматическая электромагнитная волна
описывается волновым уравнением
$$
\frac{1}{c}\frac{\partial \vec{\bf A}}{\partial t}=\Delta \vec{\bf A}
$$
и имеет, например, следующий вид
$$
\vec{\bf A}=\vec{\bf A_0}e^{i(\vec{k}\vec{x}-\omega t)}.
$$
Електрическая и магнитная напряженности волны равны
\begin{equation}\label{e}
 \vec{\bf E}=i|k|\vec{\bf A},\ \ \vec{\bf H}=i[k\times\vec{\bf A}].
\end{equation}
Для тензора энергии-импульса волны имеем
$$
T^{ij}=\frac{Wc^2}{\omega^2}k^ik^j,
$$
где
$$
W=\frac{\vec{\bf E}^2}{4\pi}
$$
-- плотность энергии волны.

Из приведенных формул видно, что если сделать подстановку $\vec{\bf A}\to d\vec{\bf A}$,
где $d\in D$, то получим
$$
\vec{\bf E}\to d\vec{\bf E} \Longrightarrow
\vec{\bf E}(\ell  C^\infty (\R)/(a^2))\neq 0 \ \mbox{при}\ a\neq 0,
$$
тогда как $W\to d^2W=0$ и, следовательно, $T_{ik}\equiv 0$, т.е. имеем фотонный дух во всех вселенных  мультиверса,
наблюдаемый в виде  электромагнитной волны, не несущей ни энергии, ни импульса
 во всех мирах, кроме мира с $a=0$, где ее просто нет.

\medskip

Рассмотрим теперь число $\vartheta \in R$. Пусть в стадии
$\ell C^\infty (\R^n)/I$ оно задается классом функций $\vartheta(a)\mod\ I$, где
\begin{equation}\label{f}
  \vartheta(a)=e^{-k|a|^2}-1, \ \ k>0.
\end{equation}
Пусть
электромагнитное поле
$$
\vec{\bf E}=i\vartheta|k|\vec{\bf A},\ \ \vec{\bf H}=i\vartheta[k\times\vec{\bf A}],
 \ \ \vec{\bf
A}\neq 0
$$
получается из (\ref{e}) подстановкой $\vec{\bf A}\to \vartheta\vec{\bf A}$.


Тогда
$$
\vec{\bf E}(\ell C^\infty(\R)/(\vartheta^2))\neq 0,
$$
но
$$
T^{ij}=\frac{Wc^2}{\omega^2}k^ik^j(\ell C^\infty(\R)/(\vartheta^2))\!\!\!\!\mod (\vartheta^2)=0.
$$
Иначе говоря, в стадии (среде) $\ell C^\infty(\R)/(\vartheta^2)$ во всех вселенных наблюдаюся
фотоны-двойники, не несущие ни энергии, ни импульса, т.е. являющиеся фотонными духами.


\section{Виртуальные реальности как топосные модели \\ формального мультиверса }


Поскольку <<множество действительных чисел>> $R$ в ${\bf Set}^{\L^{op}}$ не обладает
многими привычными свойствами обычных действительных чисел из $\R$, то, пребывая в средах
этого генератора виртуальной реальности, мы должны были наблюдать  неожиданные или
непривычные факты и явления. Некоторые из них были описаны в данной статье.

Топос ${\bf Set}^{\L^{op}}$, как уже говорилось,  не единственная допустимая модель
для формальной теории $\T$.
Обращение к другим моделям, другим генераторам виртуальной реальности приведет нас
к знакомству с другими возможными реальностями, но трудно сказать, какая из них ближе к
той, которая носит название {\it окружающая нас физическая реальность}.


%%%%%%%%%%%%%%     Литература    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{1}
    Дойч Д. {\it Структура реальности.}
    Ижевск: НИЦ <<Регулярная и хаотическая динамика>>, 2001.

\bibitem{Cock}
Kock A. {\it Synthetic Differential Geometry.} Cambridge Univ. Press, 1981.

\bibitem{gugri}
Guts A.K., Grinkevich E.B. {\it Toposes in General Theory of Relativity}. -- Los Alamos E-print
paper: gr-qc/9610073 (1996). - http://xxx.lanl.gov/abs/gr-qc/9610073

\bibitem{gu}
Гуц А.К. {\it Интуиционистская теория  пространства-времени} //
Международная   геометрическая  школа-семинар  памяти
Н.В.Ефимова. Тезисы докладов. Абрау-Дюрсо. 27 сентября
- 4 октября 1996 года.- Ростов-на Дону,1996.- С.87-88.

\bibitem{Dir}
Дирак П. {\it Принципы квантовой механики.} М.: Наука, 1979.

\bibitem{ged}
G\"odel K. {\it An Example of a New Type of Cosmological Solution of Einstein's Field
Equations of Gravitation} // Rev. Mod. Phys. 1949. V.21, No.3. P.447-450.

\bibitem{Moer}
Moerdijk I., Reyes G.E. {\it Models for Smooth Infenitesimal Analysis.}
Springer-Verlag, 1991.

\bibitem{ever}
{\it Квантовая механика Эверетта} // Сайт в Интернет
http://www.univer.omsk.su/\\ omsk/Sci/Everett.
\bibitem{guz}
Guts A.K., Zvyagintsev A.A. {\it Interpretation of  intuitionistic solution of
the vacuum Einstein  equations in smooth topos}. -- Los
Alamos E-print Paper: gr-qc/0001076 (2000).

\bibitem{guz1}
Гуц А.К., Звягинцев А.А. {\it Решение почтивакуумных уравнений  Эйнштейна в
синтетической дифференциальной геометрии Кока-Ловера}
// Математические  структуры  и моделирование. 2000.
Вып.6. C.115-127.

\bibitem{guz2}
Гуц А.К., Звягинцев А.А.  {\it Интуиционистcкая логика  и сигнатура пространства-времени}
// Логика и приложения. Международ. конференция, посвящ. 60-летию Ю.Л.Ершова.
Тезисы докладов. -- Новосибирск: Ин-т дискрет. мат-ки и информатики,
2000. С.38-39.


\bibitem{guz3}
Гуц А.К. {\it Многозначная логика и многовариантный мир} //
Логика и приложения. Международ. конференция, посвящ.
60-летию Ю.Л.Ершова. Тезисы докладов. -- Новосибирск:
Ин-т дискрет. мат-ки и информатики, 2000. С.36-37.

\bibitem{guz4}
Guts A.K. {\it Interaction of the Past of parallel universes}.
- Los Alamos E-print Paper: physics/9910037 (1999).

\bibitem{guz5}
Гуц А.К. {\it Модели многовариантной истории} // Математические
структуры и моделирование. 1999. Вып.4. С.5-14.


\bibitem{Bel}
Белокуров В.В., Тимофеевская О.Д., Хрусталев О.А. {\it Квантовая телепортация
-- обыкновенное чудо.} Ижевск: $R \& C$ {\it Dynamics}, 2000.

\bibitem{Pal}
Palesheva E.V. {\it Ghost spinors, shadow electrons and the Deutsch Multiverse.}
-- Los Alamos E-print paper: gr-qc/0108017 (2001).

\end{thebibliography}

\endarticle  %  Команда завершения статьи
\end{document}
