п.3.1 Риманово пространство. Метрика.

Рассмотрим совокупность об''ектов, которые можно поставить во взаимно однозначное соответствие со всеми упорядоченными системами n действительных или комплексных чисел (х¹ , ..., хⁿ) удовлетворяющих системе неравенств :

ï хⁱ - aⁱï <eⁱ,

где а ⁱ (i=1,2,..n) - постоянные, а e ⁱ - полложительное число.

Такую совокупность будем называть ограниченной областью n - мерного пространства, а сами об''екты - точками этой области.

Всякое взаимно однозначное соответствие между точками и системами чисел (х¹ , ..., хⁿ) назовем системой координат; числа хⁱ назовем координатами той точки, которой в этой координатной системе отвечает сама система чисел хⁱ.

Если в области заданы две системы координат {xⁱ} и {x^{i ¢} }, то существует взаимно однозначное непрерывное соответствие между этими двумя системами; оно может быть записано уравнениями

xⁱ =j ⁱ (x^{1 ¢} , ... xⁿ ¢ ), x^{i ¢} = f ^{i ¢} (x¹ , ... xⁿ )

про которые мы будем говорить, что они определяют преобразование координат.

Рассмотрим в n - мерном пространстве некоторую область А, в которой определены две системы координат {xⁱ} и {x^{i ¢} }. Предположим, что в области А n - мерного вещественного пространства задан скаляр, который получится, если в системе координат {xⁱ} задать неопределенную, квадратичную дифференциальную форму

ds² = (3.1)

где - набор функций.

 

и потребовать, чтобы она не зависела от системы координат. При помощи формы (3.1) можно в области n - мерного пространства определить метрику, в результате чего получаем риманово пространство V_n . Смысл введения метрики при помощи формы (3.1) состоит в том, что ds интерпретируется как длина вектора с компонентами dxⁱ .

СОДЕРЖАНИЕ

ДАЛЬШЕ