ЛоготипОкружность

ОкружностьОкружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.

Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.


Основные термины

Касательная

Касательная

Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойства касательной

  1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
  2. Свойства касательной

  3. Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
  4. Свойства касательной

ХордаХорда

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Свойства хорд

  1. Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.
  2. Свойства хорд

  3. Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.
  4. Свойства хорд

  5. Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.
  6. Свойства хорд


Свойства окружности

  1. Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая).
  2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
  3. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.
  4. Свойства окружности

Теорема о касательной и секущей

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC2 = MA•MB.

Теорема о касательной и секущей Теорема о касательной и секущей

Теорема о секущих

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.


 Углы в окружностиУглы в окружности

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.Углы в окружности

Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Свойства углов, связанных с окружностью

  1. Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.
  2. Свойства углов, связанных с окружностью

  3. Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
  4. Свойства углов, связанных с окружностью

  5. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.
  6. Свойства углов, связанных с окружностью

  7. Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.
  8. Свойства углов, связанных с окружностью


Длины и площади

  1. Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле:
  2. C = 2 &piR.

  3. Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле:
  4. S = &piR2.

  5. Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом &alpha,измеренным в радианах, вычисляется по формуле: Окружность
  6. L = R &alpha.

  7. Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в &alpha радиан вычисляется по формуле:
  8. S = 1/2R2 &alpha.


Вписанные и описанные окружности

Окружность и треугольникОкружность и треугольник

Окружность и четырехугольники