Виноградов посвятил свою деятельность аналитической теории чисел. Основы этой теории были заложены еще Л. Эйлером, крупные результаты в развитии аналитической теории чисел принадлежат математикам петербургской школы теории чисел, основанной П. Л. Чебышевым. Первые работы Виноградова - по вопросам определения погрешностей приближенных формул, выражающих суммы значений различных арифметических функций. В ряде работ Виноградова рассматриваются проблемы распределения вычетов и невычетов данной степени и первообразных корней.
Виноградов создал метод в аналитической теории чисел и сделал с его помощью ряд открытий, в частности дал новое решение проблемы Варинга. Дал лучшую оценку для числа слагаемых, усовершенствовав результат, полученный английскими математиками Г. Г. Харди и Дж. Литлвудом. Свой метод Виноградов изложил в книге "Новый метод аналитической теории чисел" (Л.; М" 1937г.). Благодаря этому методу стало возможным решение широкого класса аддитивных задач, в том числе задач о простых числах, которые раньше считались неразрешимыми. Виноградов вывел асимптотическую формулу для числа представлений нечетного числа в виде суммы трех простых чисел (1937г.); отсюда вытекает решение проблемы Гольдбаха-Эйлера для нечетных чисел. Вопрос о том, можно ли представить любое четное число в виде суммы двух простых чисел, остается пока открытым. Позже Виноградов значительно расширил и углубил свой метод, дав, в частности, ряд чрезвычайно точных оценок тригонометрических сумм. Виноградов-автор более 140 оригинальных работ. Большой популярностью пользуется неоднократно издаваемый учебник Виноградова по теории чисел. Написал монографии: "Метод тригонометрических сумм в теории чисел" (2-е изд.-М., 1976г.) и "Метод тригонометрических сумм в простейших вариантах" (М., 1976г.).
1. Счастье творческих побед. - М.: Наука, 1979.
2. Кочина П.Я. Воспоминания. - М.: Наука,1974.
3. Смышляев В.К. О математике и математиках. - Йошкар-Ола: Наука, 1977.