В 1939 г. избран академиком АН УССР и переехал в Киев, где руководил Институтом математики и механики АН УССР и работал в Киевском университете. Академик АН СССР (1946). В 1949-1953 гг. директор Института механики и вычислительной техники АН СССР. В 1957-1975 гг. - вице-президент АН СССР и председатель СО АН СССР, инициатором и организатором которого был, одновременно работал в Новосибирском университете.
Основные труды относятся к теории множеств, теории функций, дифференциальным уравнениям, вариационному исчислению и математическим методам в механике. В математике получил фундаментальные результаты по теории множеств и общей теории функций, теории приближения функций комплексного непременного, теории конформных и квазиконформных поражений и теории дифференциальных уравнений создал ряд новых направлений в этих областях. Большое значение имеет работа, выполненная им совместно с М. В. Келдышем, по аппроксимации произвольных непрерывных функций комплексного переменного рядами полиномов, а также исследование в области вариационных принципов конформных отображений, и особенно в области созданной им теории квазиконформных отображений.
В 1943 г. ввел общее понятие квазиконформного отображения, положил начало теории нелинейных классов квазиконформных отображений, поставил ряд новых проблем пространственных квазиконформных отображений. Его результаты, полученные здесь, послужили основой геометрического метода решения широкого круга задач математики и математической физики.
Велики заслуги ученого в деле развития современной машинной математики. Ему принадлежат важные работы по приближенным и численным методам и математическому программированию. Создал школы в математике и механике, которые успешно развивают его идеи. Воспитал целую плеяду математиков и механиков, имена которых широко известны-это академики М. В. Келдыш, Л. И. Седов, А. И. Ишлннский. академик АПН СССР А. И. Маркушевич, член-корреспондент АН СССР А. В. Бицадзе и др. Много занимался практическими вопросами механики, применяя при этом найденные им математические методы. С большой радостью принял приглашение С. А. Чаплыгина работать в ЦАГИ. Это было начало 30-х годов, когда создавалась отечественная авиация и зарождалась реактивная техника. Перед наукой были поставлены новые проблемы, которые требовали математического решения. Получил крупные результаты в развитии теории крыла (совместно с М. В. Келдышем), теории длинных волн, струй. Во время Великой Отечественной войны решал проблемы, связанные с обороной страны. Для творческого почерка ученого характерна органическая связь математических теорий с нуждами практики, умение сочетать теоретические и прикладные исследования.
Широко известен как педагог. Под его руководством проведена первая в Сибири и на Дальнем Востоке физико-математическая олимпиада школьников. Благодаря его стараниям для самых способных в Новосибирске открыта физико-математическая школа, которая успешно функционирует. Одна из любимых фраз М. А. Лаврентьева - "Нет ученых без учеников". Ратовал за глубокое изучение математики в средней школе и призывал учащихся дерзать в самостоятельном творчестве. Автор ряда распространенных учебников и учебных пособий для ВУЗОВ. Член Парижской АН, АН ЧССР, АН НРБ и других академий, научных учреждений и обществ (1966-1970 гг. вице-президент Международного математического союза). Возглавлял Советский национальный комитет по теоретической и прикладной механике. Член КПСС с 1952 г. На XXII и XXIV съезда КПСС избирался кандидатом в члены ЦК КПСС. Депутат Верховного Совета СССР 5-9-го созывов. Герой социалистического труда. Лауреат премии Наркомпроса, Ленинской и двух Государственных премий СССР, премии им. С.А.Лебедева, удостоен высшей награды АН СССР- Золотой медали М.В. Ломоносова. Награжден пятью орденами Ленина, орденом Октябрьской революции, пятью другими орденами, медалями, в том числе орденом Почетного легиона (высшая награда Франции).