Банах - один из создателей современного функционального анализа и львовской математической школы, получившей мировую известность. Изученные им линейные пространства (пространства Банаха) имеют большое значение для современной математики. Многие результаты Банаха стали классическими и входят во все учебники и монографии по функциональному анализу. Некоторые работы Банаха относятся к теории обыкновенных дифференциальных уравнений (банахово среднее), теории функций комплексного переменного. Известны банаховы алгебры, банахова решетка (структура), банахово кольцо, теорема Банаха-Штейнгауза. Основное сочинение - "Теория линейных операций", опубликованная на польском (1931г.), французском (1933г.) и украинском (1948г.) языках. Большая премия Польской АН (1939г.). Был деканом Львовского университета, председателем Польского математического общества и членом-корреспондентом АН УССР. После фашистской оккупации Банах вновь возглавил физико-математический факультет Львовского университета.