1. Основные понятия.
   Дифференциальные уравнения. Задача Коши. Геометрическая интерпретация. Уравнения первого порядка (с разделяющимися переменными, однородные, линейные, в полных дифференциалах). Теорема существования и единственности решения. Система уравнений в нормальной форме. Теорема существования и
единственности(без док-ва). Задача Коши для уравнения n-го порядка.

   2. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.
   Структура решения однородного уравнения (случай простых корней,случай кратных корней). Выделение действительных решений. Устойчивые многочлены. критерий Рауса-Гурвица. Структура решений неоднородного уравнения. Вид частного решения неоднородного уравнения. Метод исключения для системы.
Структура решения линейной системы. Автономные системы дифференциальных уравнений. Фазовое пространство. Класификация фазовых траекторий и особых точек на плоскости.

   3. Линейные уравнения и системы уравнений с переменными коэффициентами.
Фундаментальная система решений. Определитель Вронского. Формула Лиувиля.  Метод вариации постоянных. Линейное уравнение n-го порядка. 

  4. Краевые задачи для уравнений второго порядка.
Функция Грина. Задача Штурма-Лиувиля. 

  5. Вопросы качественной теории.
Зависимость решений от начальных данных и параметров. Устойчивость по Ляпунову. Анализ устойчивости по первому приближению. Теорема Ляпунова об устойчивости. Теорема Четаева о   неустойчивости. Предельные циклы. Критерий существования предельного цикла.  Типы точек покоя и исследование траекторий около этих точек.

   6. Уравнения в частных производных первого порядка.
Линейные уравнения, характеристики. Теорема существования и единственности.  Первые интегралы системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

   7. Асимптотика решений линейных дифференциальных уравнений по малому параметру.
Регулярные возмущения. Теорема существования и единственности решения возмущенной задачи. Сингулярные возмущения. Уравнения с малым параметром при старшей производной. Асимптотическое разложение решений с оценкой погрешности. Принцип максимума для дифференциальной задачи и для разностной схемы. Понятие равномерной сходимости разностной схемы. Построение и обоснование равномерно сходящихся схем для линейных уравнений первого и второго порядка.
 

22.09.98                                                          Подготовил:   доц.  А.И.Задорин