Кафедра математического моделирования

ПРОГРАММА  КУРСА
"Дифференциальная геометрия"
( матфак, 2 курс, 2 семестр)
1996/97 уч.г.


 


1. Предмет дифференциальной геометрии.
2. Непрерывные, гладкие и регулярные кривые.
3. Эквивалентные кривые.

Примеры. Касательные векторы.
4. Параметризованные кривые.
5. Регулярные кривые на плоскости.
Графики функций. Локальная эквивалентность регулярной кривой графику гладкой функции (доказательство). Примеры.
6. Гладкие и регулярные гиперповерхности в Е^n, n>2.
Теорема Уитни (формулировка). Теорема о неявной функции. Теорема о локальной эквивалентности регулярной гиперповерхности графику гладкой функции (формулировка, примеры).
7. Касательный вектор к регулярной гиперповерхности.
Теорема о касательном пространстве к гиперповерхности. Касательная гиперплоскость. Примеры.
8. Длина регулярной кривой.
Определение, формула, натуральный параметр.
9. Кривизна плоской кривой.
Формула, примеры. Относительная кривизна. Примеры.


10. Радиус кривизны, нормаль к кривой.

Формулы Френе для плоскости. Примеры.
11. Кривизна и кручение пространственной кривой.
Главная нормаль, бинормаль. Формулы Френе для пространственной кривой. Примеры. (Винтовая линия, её кривизна и кручение).
12. Проекции кривой на координатные плоскости.
13. Соприкасающаяся, спрямляющая и нормальная плоскости.
14. Сопровождающий базис Френе общего типа.
15. Теорема о восстановлении кривой в Е по её кривизнам и кручению.
16. Регулярные поверхности.
Диффеоморфизм. Теорема об обратном отображении (формулировка). Эквивалентные поверхности. Локальная эквивалентность регулярной поверхности графику гладкой функции (доказательство).
17. Кривые на поверхности. Внутренние уравнения кривых.
18. Поверхности вращения, линейчатые поверхности.
Примеры конуса, цилиндра, поверхности нормалей, бинормалей, касательных. Координатные кривые.
19. Первая квадратичная форма поверхности.
Длина кривой на поверхности. Угол между пересекающимися кривыми. Индуцированные формы на поверхности. Лемма о индуцированных формах на диффеоморфных поверхностях.
20. Изометрия, изометричные поверхности.
Критерий изометричных поверхностей (формулировка). Изометричность эквивалентных поверхностей. Доказательство предложения о том, что путём перехода к эквивалентным поверхностям 1-е квадратичные формы изометричных поверхностей можно сделать идентичными.
21. Примеры:
I-й квадратичной формы плоскости, прямого геликоида и катеноида, цилиндра общего вида, локальная изометричность геликоида и катеноида, плоскости и цилиндра. Развертывающиеся поверхности.
22. Касательные векторы к поверхности.
Векторное пространство касательных векторов в произвольной точке поверхности. Базис касательных векторов. Касательная плоскость.
23. Вектор нормали, вычисление (Лемма), определитель Грама.
Нормальное сечение поверхности, кривизна нормального сечения, вторая квадратичная форма поверхности. Теорема Менье, формула Эйлера.
24. Индикатриса Дюпена.
Эллиптические, гиперболические, параболические точки. Исследование знака и экстремальных (минимальных и максимальных) значений нормальных кривизн. Главные кривизны.
25. Средняя и полная (гауссова) кривизна.
Выведение формул для нахождения главных кривизн, средней и гауссовой кривизны. Примеры вычисления полной и средней кривизн для геликоида, псевдосферы, линейчатой поверхности.
26. Вычисление коэффициентов 2-й квадратичной формы для случая локального задания поверхности как графика функций z=z(x,y).
27. Деривационные формулы Вейнгартена.
Коэффициенты связности (символы Кристоффеля), их выражения через коэффициенты I-й квадратичной формы. Примеры.
24. Теорема Гаусса (доказательство).
Формулы Гаусса, Петерсона-Майнарди-Кодацци. Первый дифференциальный параметр Бельтрами. Гауссовы координаты. Формулировка теоремы о изометричных поверхностях, на которых допустимы гауссовы координаты. Поверхности постоянной гауссовой (полной) кривизны (формулировка результата).
25. Теорема Бонне.
26. Геодезическая кривизна кривой на поверхности.
Связь геодезических кривизн на изометричных поверхностях. Геодезические линии на поверхности.
27. Полугеодезическая параметризация.
Определение, теорема (формулировка). Вид I-й квадратичной формы при полугеодезической параметризации. Кратчайшие на поверхности (определение, формулировка теоремы).
28. Теорема Гаусса-Бонне. Теорема Гаусса-Бонне в применении к геодезическому треугольнику.
 

                             Программу подготовила:                             доцент  Н.Л.Шаламова
 



Литература

1. Постников М.М., Линейная алгебра и дифференциальная геометрия. Семестр II, лекции 22-27. М.: Наука, 1979
2. Погорелов А.В., Дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1974