У ученых-математиков бывает: думаешь, думаешь над теоремой, иногда долго, иной раз и не год, и не два, ищешь доказательство и так, и сяк, и с этого конца, и с другого, ан не выходит, а вышло - удивляешься: дурак! как я раньше не сообразил? ведь по сути это совсем просто. А уж о новых концепциях и говорить не приходится: занимаешься какими-нибудь вопросами, а не приходит в голову посмотреть на них с более общей точки зрения или с другой, так сказать, стороны; не формулируются поэтому общие понятия, проясняющие круг вопросов. А потом, если - такое счастье! - сообразил, то удивляешься: как это раньше тебе в голову не пришло? Ну, а если сообразил кто-то другой, то, как ни радуешься успеху науки, а зло берет: как это я, тупица, сам не додумался!
Поиски решения нестандартной задачи, как и доказательства теоремы, состоят обычно в том, что приходит в голову одно решение или доказательство - неверное! потом - другое: "гениальная идея!"- неверно! третья попытка - неверно! еще бросок на задачу - промах... и если задача или теорема трудная, то так может длиться долго.
Помню, предложил я Иосифу Либерману одну теорему доказать была у меня хорошая гипотеза. Тогда он был студентом - талантливый был парень! - и стал бы крупным геометром, если бы не война: он погиб в августе 1941 г., а в июле в форме морского офицера защитил диссертацию - уже на втором году аспирантуры - такой был талант.
Так вот, предложил я ему доказать теорему. Встречаемся через некоторое время, он говорит: доказал, и рассказывает. А я его зацепил: в этом месте почему вы так утверждаете? Ошибка - ушел Иосиф. Опять встречаемся - исправил он ошибку, но дальше опять ошибки. Так я его почти целый год гонял. Но потом он еще подучил топологию и доказал не только мою теорему, но и более сильную, которую уже сам сформулировал.
Таких историй долгих поисков можно рассказать множество. Вот, например, придумал я в 1937 году одну теорему, очень хорошую теорему, и доказал ее при некоторых дополнительных предположениях. Естественно, встал вопрос доказать ее без этих предположений. Вопрос стоит до сих пор - 45 лет. Очень я старался ее доказать и другие очень старались, да не вышло.
И так во всех науках. Бьется филолог над расшифровкой и толкованием текста - и так, и сяк... А потом, когда сообразил, тоже, наверно, удивляется, вроде нас, математиков: какой дурак! как это я раньше не сообразил? оно ведь очевидно!
Словом, тот, кто думал, вдумывался, искал, тот знает, насколько туп и несообразителен бывает человек.
Сообразительностью своей любуются обычно люди, которым не приходилось упорно вдумываться и искать, - легко дается удача тому, кто не ставит перед собою трудных задач, серьезных целей.
И вот я хочу рассказать историю о человеческой тупости и о гении, историю, несравненно более значительную, чем те, о которых я только что говорил. Дело идет об одном из величайших завоеваний человеческого духа, в котором участвовали первоклассные таланты и подлинные гении, без преувеличений.
Речь - о неевклидовой геометрии, о ее более чем 2000-летней истории.
История эта очень интересна и поучительна. С ней связано много такого, что касается не математики самой по себе, а свойств, путей и страстей человеческих. Но прежде чем говорить об истории, надо бы объяснить
Что такое геометрия "Лобачевского
Ответ, конечно, всем известен: это - геометрия, полученная из геометрии Евклида изменением одной только аксиомы параллельных ("Геометрия 6-8", п. 33). Именно, у Лобачевского принимается за аксиому, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит по крайней мере две прямые, параллельные данной (то есть лежащие с ней в одной плоскости и ее не пересекающие). Утверждения, или, другими словами, теоремы, которые выводятся из так измененных оснований геометрии Евклида, и образуют геометрию Лобачевского.
Все это, как мы видим, "очень просто" и говорится коротко и ясно. Трудность, однако, в том, что аксиома Лобачевского не соответствует нашему наглядному представлению. Поэтому и выводы из нее - многие теоремы геометрии Лобачевского - оказываются вовсе странными и невообразимыми. Реальный смысл этой геометрии из данного выше ее простого формального определения совершенно не ясен.
Сам Лобачевский называл свою геометрию воображаемой. Он смотрел на нее как на теорию, которая могла бы оказаться приложимой к реальному пространству. Но только "могла бы" - реальных же приложений не было. Поэтому и логическая непротиворечивость этой геометрии оставалась не установленной. Ведь как ни развивал ее Лобачевский, а могло бы оказаться, что дальше все-таки обнаружится противоречие.
Реальный смысл и логическая непротиворечивость геометрии Лобачевского вытекают из ее простой модели, придуманной немецким математиком Ф. Клейном. Вот эта модель.
За "плоскость" принимается внутренность какого-либо круга (рис. 1), за "точки" - точки этой внутренности, за "прямые" - хорды - конечно, с исключением концов, поскольку рассматривается только внутренность круга. За "перемещения" принимаются преобразования круга, переводящие его в себя и хорды - в хорды. Соответственно, "конгруэнтными" называются фигуры, переводимые друг в друга такими преобразованиями.
Всякая теорема планиметрии Лобачевского является в этой модели теоремой геометрии Евклида и, обратно, всякая теорема геометрии Евклида, говорящая о фигурах внутри данного круга, является теоремой геометрии Лобачевского. Это общее утверждение доказывается проверкой справедливости в модели аксиом геометрии Лобачевского.
То, что аксиома параллельных не выполняется в этой модели, видно непосредственно: на рисунке 2 через точку С, не лежащую на "прямой" (то есть на хорде) АВ, проходит бесконечно много "прямых" (хорд), не пересекающих (АВ).
Поэтому, если в геометрии Лобачевского имеется противоречие, то это же противоречие (вернее, его перевод на "язык в круге") имеется и в геометрии Евклида.
Далее, всякая теорема геометрии Лобачевского описывает в модели Клейна некоторые факты, имеющие место внутри круга. Именно факты, если мы берем не абстрактный круг, а реальный круг и реальные хорды И понимаем теоремы как утверждения об этих реальных вещах, взятые, конечно, с той точностью, которая доступна для наших построений. Таким образом, геометрия Лобачевского имеет вполне реальный смысл с той точностью, с какой вообще имеет смысл геометрия в применении к реальным телам.
Стадо быть, геометрия Лобачевского настолько непротиворечива, насколько непротиворечива геометрия Евклида, и имеет в такой же степени реальный, экспериментально устанавливаемый смысл.
От Евклида до Лобачевского
Сам Евклид (IV в. до н. э.) принимал в качестве аксиомы параллельных следующее предложение (у Евклида оно было "пятым постулатом") :
Если прямая пересекает две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меньше двух прямых, то при неограниченном продолжении этих двух прямых они пересекутся с той стороны, где углы меньше двух прямых.
Мы привели эту формулировку Евклида только затем, чтобы можно было убедиться в ее сложности. Другие постулаты гораздо проще и формулируются гораздо короче, начиная с первого:
Через всякие две точки можно провести прямую.
Естественно возникали попытки освободиться от сложного пятого постулата, вывести его из других основных посылок геометрии. Я думаю, что сам Евклид предпринимал такие попытки и, во всяком случае, в его время уже были такие попытки. Известно упоминание у арабских авторов не дошедшего до нас сочинения Архимеда (1П в. до н. э.) "О параллельных линиях", где, надо полагать, пятый постулат выводился из каких-то более простых посылок.
Попытки доказать пятый постулат продолжались с тех пор в течение 2000 лет. Их предпринимало множество ученых. Вот неполный перечень:
греки Птолемей (2 в. н. э., тот самый Птолемей, "которого система") и Прокл (5 в.),Все их попытки сводились к тому, что пятый постулат выводился из какого-нибудь другого положения. При этом многие не замечали этого, считая, что доказательство им удалось. Другие, более проникновенные и критичные, явно формулировали то положение, из которого выводили пятый постулат, как это сделал, например, Омар Хайям.
араб ал-Хайсам (10 в.),
перс (или таджик) Омар Хайям (11 в. - начало 12 в., тот самый Хайям, который известен как великий поэт),
азербайджанец ат-Туси (13 в.),
немец Клавий-Шлюссель (1514; здесь и дальше дата работы),
итальянцы Катальди (1603), Борелли (1658) и Витале (1680),
англичанин Валлис (1663),
итальянец Саккери (1733),
немец Ламберт (1766),
французы Бертран (1778) и Лежандр (1794, 1823),
русский Гурьев (1798).
Напряжение поисков доказательства с бурным развитием математики в 17-18 вв. возрастало.
Значительные усилия сделал итальянский монах, преподаватель математики и грамматики Джироламо Саккери, труд которого с попыткой доказательства пятого постулата появился в 1733 году - в год его смерти. Он называется "Евклид, очищенный от всех пятен, или же геометрическая попытка установить первые начала всей геометрии". Отправляясь от работ своих предшественников, Саккери пытается доказать пятый постулат от противного - приняв предположение, равносильное отрицанию пятого постулата, он выводил из него следствия, стремясь прийти к противоречию. Но так как отрицание пятого постулата есть аксиома Лобачевского, то выводы, которые получал Саккери, были не более и не менее как теоремами геометрии Лобачевского. Иначе говоря, Саккери развивал новую геометрию, не понимая, однако, того, что делает.
К. противоречию он не пришел, но все же заключил, что ему удалось доказать пятый постулат, хотя, по-видимому, он не был в этом вполне уверен. Он как бы убеждал сам себя, когда писал о гипотезе, равносильной отрицанию пятого постулата, что он "вырвал эту зловредную гипотезу с корнем".
Из довольно многочисленных (55) появившихся в 18 в. сочинений по теории параллельных особенно выделяется написанная в 1766 г. "Теория параллельных" И. Г. Ламберта, немецкого математика, физика и астронома. Ведя доказательство пятого постулата от противного, Ламберт вывел из его отрицания много следствий. Он, можно сказать, в значительной мере построил основы геометрии Лобачевского. В его выводах не было противоречия, и он не подумал, что нашел его, как это делали почти все его предшественники. Ламберт даже высказал мысль, что он "почти должен сделать вывод", что опровергаемая им гипотеза "имеет место на какой-то мнимой сфере". Но все же он остался уверен, что геометрия, основанная на отрицании пятого постулата, невозможна. Его работа не давала, однако, доказательства этому убеждению. Поэтому, надо думать, он остался ею недоволен и не опубликовал ее. Она была издана только в 1786 г. - через 9 лет после его смерти и через 20 лет после того, как она была написана. В общем Ламберт очень близко подошел к открытию новой геометрии, но не сделал его.
Вплотную подошли к пониманию возможности неевклидовой геометрии немецкие математики Швейкарт (1818) и Тауринус (1825), но ясно выраженной мысли, что намечаемая ими теория будет столь логически законной, как и геометрия Евклида, они все же не высказали.
Гаусс, по его собственному свидетельству, занимался теорией параллельных с 1792 г. и, как видно из его переписки, постепенно приходил к убеждению, что доказательство пятого постулата невозможно. Так, в 1817 г. в письме к Ольберсу он писал:
"Я прихожу все более к убеждению, что необходимость нашей геометрии не может быть доказана, по крайней мере человеческим рассудком и для человеческого рассудка".
Раз он пишет "прихожу все более", то значит еще не пришел окончательно.
Далее он продолжает: "Может быть, в другой жизни мы придем к другим взглядам на природу пространства, которые нам теперь недоступны. До тех пор геометрию приходится ставить не в один ранг с арифметикой, существующей чисто априори, а скорее с механикой..."
В то время он далеко развил неевклидову геометрию, но только в 1824 г. в письме к Тауринусу он написал определенно, что нееквлидова геометрия, "в которой сумма углов треугольника меньше 180°, совершенно последовательна" и что он "развил ее для себя совершенно удовлетворительно". Однако только в 1831 г. он взялся за то, чтобы изложить, хотя бы кратко, свои выводы, но за всю свою жизнь так ничего и не опубликовал по поводу неевклидовой геометрии. В 1829 г. в письме к Бесселю он писал: "Я опасаюсь крика беотийцев, если выскажу мои воззрения...". Он боялся подорвать свой научный авторитет.
Беотийцы, жители области Древней Греции Беотии, считались особо глупыми, так что название "беотиец" было нарицательным.
Но когда Гаусс писал все это, уже нашелся человек, который не только совершенно удовлетворительно развил геометрию, отрицающую пятый постулат, и не только пришел к убеждению, что эта геометрия совершенно последовательна, но, не убоявшись ничьего крика, доложил все это научному собранию. Это был Николай Иванович Лобачевский, который пришел к убеждению о возможности неевклидовой геометрии еще в 1824 г. и представил доклад с изложением ее начал физико-математическому факультету Казанского университета 23 (11) февраля 1826 года; опубликовал он его в расширенном виде в работе "О началах геометрии" в ряде выпусков "Казанского вестника", научного издания Казанского университета, с февраля 1829 по август 1830 г.
В 1835-38 гг. Лобачевский публикует более развитое изложение своей теории "Новые начала геометрии с полной теорией параллельных", в предисловии к которому пишет:
"Напрасное старание со времен Евклида, в продолжении двух тысяч лет, заставило меня подозревать, что в самих понятиях еще не заключается той истины, которую хотели доказывать и которую проверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, астрономические наблюдения".
Для Лобачевского вопрос об истинности той или иной геометрии был, стало быть, вопросом опыта; свою геометрию он рассматривал как возможную теорию свойств реального пространства, то есть свойств структуры соответствующих отношений материальных тел и явлений.
Почти одновременно с Лобачевским - в 1825 г. - к той же геометрии пришел молодой венгерский математик Янош Больяи. Свои выводы Янош Больяи изложил в 1832 г. в качестве приложения (Аппендикса) к учебнику геометрии своего отца Фаркаша Больяи.
Ближе венгерскому произношению - Бойаи, у нас можно встретить также написаны Больяи, Бойаи, Бояи.
Фаркаш Больяи послал учебник Гауссу. Тот, одобрительно отозвавшись о результатах Яноша, написал вместе с тем, что все это ему давно известно. Янош, понимавший значение своих открытий, решил, что Гаусс просто приписал их себе. Он надолго прекратил свои занятия неевклидовой геометрией. Но Лобачевский продолжал разрабатывать свою геометрию и публиковать работы с ее изложением вплоть до самой смерти.
Нельзя удивляться, что новая геометрия могла казаться невозможной. Посмотрите на рисунок 3: ясно, что прямая СМ, если ее достаточно далеко продолжить, обязательно пересечет прямую АВ. Допущение, будто через одну точку проходят две прямые, параллельные данной, совершенно противоречит наглядному представлению. Такое допущение кажется просто нелепым. Никакой неевклидовой геометрии быть не может!
Тем более нужно отдать должное смелости мысли Лобачевского и Больяи, которые решились допустить "нелепость". Нелепость с точки зрения наглядного представления - да, но с точки зрения логики - другое дело. Как ни кажется наглядно нелепым допущение многих параллелей, логически оно допустимо. Нужна была большая смелость мысли, чтобы твердо убедиться в этом, хотя теперь, когда найден простой смысл неевклидовой геометрии, никакой смелости мысли не нужно - достаточно самой небольшой способности к отвлеченному мышлению.
От убеждения к доказательству
Итак, Лобачевский и Больяи публично, а Гаусс в письмах выразили убеждение в правомерности неевклидовой геометрии и далеко развили ее. Однако это убеждение основывалось только на том, что в полученных выводах не было противоречий. Но ведь можно было бы думать, что в дальшейших выводах противоречия все же появятся. Реальный смысл новой геометрии оставался совершенно неясным. И пока он не был найден, великое открытие все же висело в воздухе - геометрия Лобачевского оставалась не более чем воображаемой.
В 1839-40 гг. появились две работы профессора Дерптского (ныне Тартуского) университета Ф. Миндинга, в которых он исследовал некоторые специальные поверхности - поверхности постоянной отрицательной кривизны. В этих работах по существу заключался вывод, что геометрия на таких поверхностях есть не что иное, как геометрия Лобачевского. Но этот вывод там не был явно высказан. Интересно, что двумя годами раньше в том же журнале, где были напечатаны работы Миндинга. была опубликована одна из работ Лобачевского!
В 1854 г., при вступлении на должность профессора Геттингенско-го университета, Б. Риман, как это полагалось, прочел пробную лекцию. Лекция называлась "О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии". Она содержала необычайное богатство плодотворных идей - от общей концепции математического пространства до предвидения того, что стало потом общей теорией относительности. Кроме того, в лекции была намечена общая теория некоторого типа пространств (называемых теперь римановыми), которые включают, как простейшие частные случаи, пространства Евклида, Лобачевского и так называемые сферические пространства. Риман дал чисто аналитическое определение этих пространств; это по существу означало, что геометрия Лобачевского в такой же степени непротиворечива, как и анализ.
Но этого никто не понял, не заметил. Лекция Римана осталась не понятой И только слушавший ее старый, 77-летний Гаусс ушел, как свидетельствуют, после лекции в глубокой задумчивости. Лекция Римана не была сразу опубликована, ее издали только в 1868 г., через 2 года пбсле его смерти. И тогда она сразу произвела величайшее впечатление, вызвала бурное развитие намеченной в ней теории.
Тогда же, в 1868 г., итальянский математик Бельтрами сделал то, до чего дошел, но чего не сказал Миндинг, - он показал, что геометрия Лобачевского выполняется на поверхностях постоянной отрицательной кривизны.
Однако выводы Бельтрами были аналитическими, далекими от элементарной геометрии, от Евклида. Лишь в 1871 г. Клейн заметил ту модель на круге, о которой шла речь в начале статьи. Позднее Пуанкаре нашел другую интересную модель, связанную с комплексными числами (см. "Квант", 1976, № 3. с. 7).
Так через 40 лет после опубликования первых работ Лобачевского и Больяи их убеждение было доказано и их геометрия получила всеобщее признание.
Оглянемся теперь на историю пятого постулата Евклида. Лобачевский сказал о ней: "Напрасные старанья... в продолжение двух тысяч лет". Но какие старанья! Множество математиков расточает их, и каких математиков! Среди них знаменитейшие имена: попытки открываются, возможно, Архимедом, проходят через Омара Хайяма и подходят к завершению с Гауссом.
Попытки доказать пятый постулат были, как мы выяснили раньше, совершенно естественными. Но 2000 лет никто не догадывался, что доказательство невозможно. Никто не мог подумать, что возможна какая-то геометрия, отличная от привычной евклидовой. Ее неразрывная связь с нашим пространственным опытом и наглядным представлением, ее логическое совершенство и прозрачность, вековые традиции ее изучения и, можно сказать, исповедания - все это делало геометрию Евклида непререкаемой, как бы абсолютно необходимой, присущей и миру, и разуму. Ее происхождение из практики затмевалось совершенством и ясностью ее логики: И дошло, наконец, до того, что в 1781 г. великий философ Кант в своей "Критике чистого разума" счел геометрию априорной - независимой от опыта - и основал на этом вывод об априорности самого пространства, которое для него - не форма, присущая миру, а только форма нашего восприятия, форма "наглядного созерцания".
Гений
Но как раз в это же время из попыток доказать пятый постулат стали пробиваться первые проблески сомнений. Уже в 1766 году у Ламберта брезжит мысль, что отрицание пятого постулата "имеет место на какой-то мнимой сфере", что, может быть, странные выводы, к которым приводит это отрицание, - не бессмыслица. Напряжение нарастает. Кантовское "априори" распространяется в умах, особенно после второго издания его "Критики" в 1787 г.
Но труд Ламберта выходит в 1786 г. Затем, из столь же упорных, как и безуспешных попыток доказать пятый постулат, в первой четверти XIX века прорастает наконец общая мысль о том, что, возможно, мыслима геометрия, отличная от евклидовой. Почти одновременно, хотя и с разной степенью определенности и ясности, эта идея появляется у нескольких человек - у Швейкарта, Тауринуса, Гаусса, Лобачевского и Больяи.
Дойти до мысли, опровергающей привычное, может быть само по себе гениальным. Но это еще не наука, а только идея. Наука же требует претворения идеи в теории, как инженерия - претворения идеи в предмете, в осуществленном изобретении, .
Гений - не только полет мысли, но также ее упорство - труд, приподнятый вдохновением, и вдохновение, подкрепленное трудом. Так, Коперник не только выразил мысль, что не Земля, а Солнце - в центре (мысль, кстати сказать, не новую: ее выразил еще в III в. до н. э. Аристарх Самосский), но и построил "систему Коперника" - дал точное описание движения планет вокруг Солнца, согласное с наблюдениями. Точно так же Лобачевский не только выразил убеждение в возможности неевклидовой геометрии, но и построил эту геометрию. И как от Коперника пошло новое развитие астрономии, дошедшее до современного взгляда на Вселенную с множеством "миров" - планетных систем, галактик и пр., так от Лобачевского пошло новое развитие геометрии, приведшее к созданию множества разнообразных "геометрий", самых разных геометрических теорий "воображаемых" пространств - топологических, римановых, финслеровых, расслоенных... - "им же несть числа".
Недаром, когда в 60-70 гг. прошлого века начал во всю силу разворачиваться этот пошедший с Лобачевского процесс преобразования геометрии, Лобачевский был назван "Коперником геометрии". Нельзя, конечно, забывать, что новую геометрию развил и обнародовал также Больяи, но преимущество отдается Лобачевскому, потому что он сделал это раньше и потом еще существенно продолжил свои исследования и публикации.
Лобачевский утверждался в мысли о недоказуемости пятого постулата и о возможности неевклидовой геометрии, исходя из философских, теоретико-познавательных убеждений. Это выражено уже в приведенных ранее (в первой части статьи) его словах из предисловия к "Новым началам геометрии...".
"Истина, которую хотели доказывать", то есть пятый постулат, не заключается "в самих понятиях", а в применении к реальному пространству и подлежит проверке опытом, как физический закон. Этим отрицается кантовское "априори": геометрия не независима от опыта, а подлежит проверке опытом. В других сочинениях Лобачевский явно возражал против кантианства в общей форме, когда писал, например, что "понятия приобретаются опытом... врожденным не должно верить".
Собственно говоря, слово "геометрия" должно пониматься двояко: как чисто математическая теория и как теория реальных пространственных отношений. В этом втором качестве она подлежит проверке опытом (современная физика доказала, что наше пространство не является точно евклидовым). Но от чисто математической теории самой по себе требуется логическая стройность прежде всего и обязательно непротиворечивость. В таком виде та или иная геометрия - это совокупность предложений, выводимых из принятых посылок. А какие она находит приложения - это ее саму по себе не затрагивает.
Кстати, это стоит заметить научным снобам, полагающим будто ни им, ни науке вообще не нужно философское мышление. Все великие ученые от Ньютона и Галилея, если говорить лишь о новом времени, были философскими мыслителями. Без философии наука не развивается: проложение новых ее путей, когда они не оформились, и есть философское движение мысли. Вопрос только в том - какая это философия, связывается ли она с точной логикой и фактами опыта или с пребывающими в безвоздушном пространстве общими фразами априорности и чистого спекулятивного мышления. Галилей, Ньютон, Лобачевский не только высказывали философские суждения, но и, отправляясь от общих убеждений, строили здания научных теорий - прочные основания целых обширных областей науки.
Появление неевклидовой геометрии было началом революционного преобразования геометрии. Но так же, что характерно для революции, вместе с назреванием ее сил, росла и реакция. Именно тогда, когда открытие новой геометрии уже приближалось, появилась философия Канта с ее учением об априорности геометрии, о пространстве как априорной форме созерцания. Любая другая геометрия, кроме той, которая присуща этой форме созерцания, казалась немыслимой.
Лобачевский явно выступает против этих воззрений. Появление новой геометрии опровергает их и открывает неведомые, немыслимые раньше пути развития науки - революция совершается. Гений - это революция, революция - это гений в действии.
Тупость
Как история пятого постулата и неевклидовой геометрии демонстрирует человеческий гений, так демонстрирует она и неповоротливость ума, если избегать грубого слова "тупость".
Начать с того, что множество попыток доказать пятый постулат было основано на ошибках. Авторам этих доказательств только казалось, что они нашли доказательство. Так было даже в начале XIX века. Только немногие понимали, что опираются на дополнительные предположения, равносильные пятому постулату, и явно их формулировали. Ошибки были психологически обусловлены тем, что автору очень хотелось пятый постулат доказать, отказ от него был невообразимым, а положение, принятое открыто, на которое автор опирался, казалось само собою очевидным и ускользало от того, чтобы его явно формулировать.
Очень характерен пример Саккери: при всей глубине и тонкости его выводов, относящихся к неевклидовой геометрии, он в конце все же заключает, что ему удалось "вырвать с корнем" гипотезу, отрицающую пятый постулат, и очистить Евклида от пятен.
И Ламберт, далеко развивший неевклидову геометрию, только "почти" сделал вывод о ее выполнимости, и Гаусс мучительно долго "все более приходил" к убеждению о невозможности доказать пятый постулат.
Когда же неевклидова геометрия была открыта и обнародована и встал вопрос о ее реальном смысле, то тут несообразительность показала себя в полную силу.
Гаусс еще в 1827 г. развил основы общей теории геометрии на поверхностях, в которой роль прямолинейных отрезков играют кратчайшие линии, расположенные на поверхности. У него был получен, в частности, вывод, что на некоторых поверхностях (поверхностях отрицательной кривизны) сумма углов треугольника (стороны которого кратчайшие линии) меньше 180°. Он знал вместе с тем, что в неевклидовой геометрии верно то же. Но он не сопоставил эти два вывода, не догадался, что неевклидова геометрия должна осуществляться на некоторых поверхностях. Если бы он додумался до этого, то доказательство не представляло бы для него, при его исключительной силе математика, особого труда (этот вывод был получен итальянским математиком Бельтрами только 40 лет спустя).
Вероятно, мысли Гаусса в неевклидовой геометрии, с одной стороны, и в теории поверхностей, с другой, шли как бы параллельно, не пересекаясь. Явление довольно обычное. Людям сплошь и рядом не приходит в голову сопоставить вещи, которые кажутся совершенно различными, но при ближайшем рассмотрении оказываются тесно связанными или даже совпадающими. Так бывает и у одного человека, когда он знает обе "вещи", но не сопоставляет их. Так же бывает и в группе людей, когда одни знают одно, другие - другое, да не сопоставляют.
Именно так и было дальше с неевклидовой геометрией и геометрией на поверхностях постоянной отрицательной кривизны. Миндинг, найдя формулы тригонометрии на этих поверхностях, - а они такие же, как в геометрии Лобачевского - не заметил этого, хотя работа Лобачевского была уже опубликована. Двумя годами раньше в том же журнале! Да и Лобачевский, который как геометр-профессионал мог бы прочитать работу Миндинга, не сделал этого сопоставления!
Так путешественники, подошедшие к горному хребту или подплывшие к острову с разных сторон, могут не сообразить, что открыли одно и то же.
Работу Миндинга развил в 1857 г. Кодацци, но и он не сообразил сопоставить свои выводы с неевклидовой геометрией. Да он, возможно, о ней и не знал, хотя часть работ Лобачевского была опубликована по-французски и по-немецки, а работа Больяи еще в 1832 г. вышла на латинском языке.
 |
И только в 1868 г. Бельтрами, отправляясь от работ Миндинга и Кодацци,
делает наконец нужное сопоставление и подробно доказывает, что на поверхностях
постоянной отрицательной кривизны выполняется геометрия Лобачевского.
В промежутке, в 1859 году, Кэли создает теорию расстояния, содержащую модель геометрии Лобачевского, но не понимает этого, так как не сопоставляет свою теорию с этой геометрией. Хотя позже, в 1861 году, он публикует работу по геометрии Лобачевского! И только в 1871 году Клейн делает это сопоставление - приходит к той простой модели в круге, о которой мы рассказали вначале. Указанием на эту элементарную модель решается вопрос о недоказуемости пятого постулата. Вот к чему, можно сказать, свелось то, над чем более 2000 лет бились умы математиков! История неевклидовой геометрии показывает, с каким трудом люди доходят до вещей, которые, когда они наконец ухвачены и понятны, оказываются простыми, и как люди зачастую не понимают, что делают и что лежит у них под руками. Ни Гаусс, ни Лобачевский не поняли то, что было у них почти в руках. Даже Гаусс и Лобачевский. |
Характер
Гаусс, Больяи, Лобачевский - три математика, открывших неевклидову геометрию. Три человека - три характера.
Фридрих Гаусс - математик чрезвычайной силы, о котором говорят "великий Гаусс", "princeps mathematicorum" (то есть король математиков), "старшина математиков".
О Гауссе можно прочитать в "Кванте", 1977, № 8, с. 2 или в брошюре С. Г. Гиндикина "Рассказы о физиках и математиках" (М., "Наука", 1981).
Сейчас готовится к печати новое расширенное и дополненное издание книги Гиндикина - подробности см. http://www.mccme.ru - V.V.
Но Гауссу при всей его математической силе была свойственна интеллектуальная осторожность, нерешительность, которая проявилась, в частности, в том, что он более 30 лет занимался теорией параллельных, прежде чем решился выразить даже самому себе и в частных письмах твердое убеждение в правомерности неевклидовой геометрии. Дальше следовала уже иная осторожность - трусость, которая не дала ему выступить со своими выводами из опасения "крика беотийцев"...
Полной противоположностью Гауссу предстает перед нами Янош Больяи - самый молодой из трех: когда он додумался до неевклидовой геометрии, ему было всего 23 года (соответственно Гауссу - 47, Лобачевскому - 31). Лобачевский выступает публично в 32 года, Больяи - в 30, Гаусс - никогда. Работа Больяи по неевклидовой геометрии написана блестяще, разве что уж слишком кратко. Блеск его таланта соответствовал остальным чертам его пылкой натуры. Он был гусарский офицер, один из знаменитых венгерских гусар, дуэлянт. Как-то ему пришлось встретиться в дуэли на шпагах с несколькими противниками; схватки следовали одна за другой, и он оговорил себе право в перерывах играть на скрипке, чтобы восстановить гибкость кисти. Он приколол (не до смерти) всех своих противников.
Но гусарское самолюбие погубило Больяи. Не тем, что его самого убили на дуэли, а тем, что это самолюбие распространялось у него в область математики.
Гаусс прислал его отцу, своему старому знакомому, положительный отзыв о работе Яноша, написав, что очень хвалить его достижения не может, так как этим он хвалил бы сам себя, потому что те же результаты известны ему давно. Янош же решил, что Гаусс попросту присвоил себе его открытия. Позже, когда появился немецкий перевод одной из книг Лобачевского, он решил, что под псевдонимом Лобачевского скрывается Гаусс, укравший его, Больяи, результаты.
Кроме открытия неевклидовой геометрии Больяи выполнил еще одну работу по математике, где содержались идеи, опережавшие его время, но не достаточно тщательно оформленную. В последние годы жизни сознание его помрачилось. Он умер в 1860 г., на 58 году жизни.
Лобачевский решительно отличался от Гаусса и от Больяи, соединяя смелость с упорством и основательностью, силу теоретической мысли с силой воли. Его открытие не встретило признания, и его считали даже немного сумасшедших, как говорил о нем, например, Чернышевский. Признание, идущее от Гаусса, пришло позднее. Но Лобачевский не смущался и продолжал свои "сумасшедшие" исследования по "сумасшедшей" геометрии, публикуя вслед за первой обширной pаботой 1829-30 гг. сследующие. Ослепнув к старости, свою последнюю книгу "Пангеометрия. он диктовал.
Деятельность Лобачевского была не только научной: 18 лет он был ректором Казанского университета, проявив на этом посту выдающуюся энергию, административное умение и понимание задач воспитания юношества. Его энергичная и умелая деятельность в тяжелое время холерной эпидемии 1835 года может показаться даже странной у человека, который занимался воображаемой геометрией, одной из абстрактнейших областей абстрактнейшей из наук - математики. Но, может быть, этому не следует особенно удивляться. Воля, необходимая для решительных действий в трудных условиях, также необходима для того, чтобы развить и отстаивать научные убеждения и истину вопреки всем "крикам беотийцев".
Талант, гений - это не только специальные способности, но и характер. Как Магеллану и Нансену была нужна решимость, чтобы отправиться в неизведанное плавание, так теоретику нужна интеллектуальная решимость, чтобы подумать "невероятное" и развивать его вопреки не только устоявшимся взглядам и традициям, но нередко и вопреки собственным сомнениям. Но мало убедиться в своих идеях для самого себя - их нужно передать другим людям. А это тоже может требовать решимости, потому что люди могут не понять, отбросить и даже подвергнуть насмешкам и поруганию новые идеи и выводы. Это могут сделать в первую очередь свои же коллеги - ученые, убежденные в незыблемости своих взглядов в своей академической непогрешимости, - мещане в академических креслах и на профессорских кафедрах, те "беотийцы", которым побоялся противопоставить себя Гаусс.
В недавнее время, да возможно и по сию пору, с легкой руки Бертольда Брехта принято было поносить Галилея за предательство истины - за то, что он отрекся от своих научных убеждений. То, что отрекаться от истины дурно, едва ли нуждается в особых объяснениях. Но в момент суда инквизиции Галилей был 68-летним стариком, через 3 года он ослеп, а ему грозили пыткой, заточением, перед ним стоял образ сожженного на костре Джордано Бруно.
Остановитесь, читатель, и постарайтесь представить себе, что вас жгут на костре или вздергивают на дыбе. После этого мы продолжим разговор о верности истине - о ней так легко рассуждать, когда вам не грозят ни костер, ни пытки, ни заточение.
В действительности, Галилей, хотя и отрекся словесно, но истины не предал. Ослепший старец, узник инквизиции, он диктует свое главное научное сочинение и издает его за границей - в Голландии. Галилей исполнил свой долг ученого. По-видимому, на самом деле он не сказал инквизиторам знаменитые слова: "А все-таки она вертится!". Но он сказал то же, хотя и менее эффектно, но более весомо - своим научным трудом, своей книгой, написанной после суда инквизиции. Поэтому легенда, приписывающая ему те слова. справедлива по существу. Поэтому правильно он остался в памяти народа верным истине, верным своим научным убеждениям.
Но Гауссу ничего не грозило, кроме разве нелестных суждений коллег, а он скрыл свои научные убеждения, скрыл истину. Он поступил мудро с точки зрения мещанства, одинаково - прошлого или современного, подвизающегося в науке или всякого другого.
Охотно морализуя по поводу "отречения" Галилея или тех, кто когда-то "каялся в грехах менделизма- морганизма", мещанин будет делать все, чтобы "не испортить отношения" с кем следует. Он не будет ни отрекаться, ни каяться. Потому что ему не от чего отрекаться и не в чем каяться. У него все в порядке, все как полагается.
Этот конформизм, этот подлый дух приспособленчества противен настоящей науке, потому что она требует готовности подвергнуть сомнению и пересмотреть любые научные взгляды, научные положения, как бы ни казались они прочно установленными. Она требует дерзости мысли и дерзости в том, чтобы открыто выступить с дерзкой мыслью, как это было с открытием неевклидовой геометрии.
Но история пятого постулата и неевклидовой геометрии показывает также, с каким трудом люди, даже дерзко мыслящие, доходят до истин, которые, когда они уже открыты, оказываются простыми. Эта история показывает, насколько неповоротливой бывает мысль самых выдающихся ученых. Поэтому с дерзостью мысли они соединяют скромность в оценке своих достижений. Так, Дарвин сказал о себе в автобиографии: "Достойно удивления, что человек таких ограниченных способностей, как я, смог оказать некоторое влияние на мнения людей в науке".
Дерзость в достижениях и скромность в их оценке, глубокое понимание того, что достигнутое - только капля в океане недостигнутого и непознанного, этому, вместе с законами и теориями, тоже можно учиться у великих ученых, у истории науки.